MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  erclwwlktr Structured version   Unicode version

Theorem erclwwlktr 24638
Description:  .~ is a transitive relation over the set of closed walks (defined as words). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 11-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
erclwwlk.r  |-  .~  =  { <. u ,  w >.  |  ( u  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  w  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  w
) ) u  =  ( w cyclShift  n )
) }
Assertion
Ref Expression
erclwwlktr  |-  ( ( x  .~  y  /\  y  .~  z )  ->  x  .~  z )
Distinct variable groups:    n, E, u, w    n, V, u, w    x, n, u, w, y    z, n, u, w, x
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, z, w, u, n)    E( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem erclwwlktr
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3121 . 2  |-  x  e. 
_V
2 vex 3121 . 2  |-  y  e. 
_V
3 vex 3121 . 2  |-  z  e. 
_V
4 erclwwlk.r . . . . . 6  |-  .~  =  { <. u ,  w >.  |  ( u  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  w  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  w
) ) u  =  ( w cyclShift  n )
) }
54erclwwlkeqlen 24635 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x  .~  y  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )
653adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  (
# `  x )  =  ( # `  y
) ) )
74erclwwlkeqlen 24635 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( y  .~  z  ->  ( # `  y
)  =  ( # `  z ) ) )
873adant1 1014 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  ->  (
# `  y )  =  ( # `  z
) ) )
94erclwwlkeq 24634 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( y  .~  z  <->  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
1093adant1 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  <->  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  n )
) ) )
114erclwwlkeq 24634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x  .~  y  <->  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) ) ) )
12113adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  <->  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y
) ) x  =  ( y cyclShift  n )
) ) )
13 simpr1 1002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  /\  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) ) )  ->  x  e.  ( V ClWWalks  E ) )
14 simplr2 1039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  /\  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) ) )  -> 
z  e.  ( V ClWWalks  E ) )
15 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  m  ->  (
y cyclShift  n )  =  ( y cyclShift  m ) )
1615eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  m  ->  (
x  =  ( y cyclShift  n )  <->  x  =  ( y cyclShift  m ) ) )
1716cbvrexv 3094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y
) ) x  =  ( y cyclShift  n )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) ) x  =  ( y cyclShift  m )
)
18 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  k  ->  (
z cyclShift  n )  =  ( z cyclShift  k ) )
1918eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  k  ->  (
y  =  ( z cyclShift  n )  <->  y  =  ( z cyclShift  k ) ) )
2019cbvrexv 3094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  n )  <->  E. k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  k )
)
21 clwwlkprop 24593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( z  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  z  e. Word  V
) )
2221simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( z  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  z  e. Word  V
)
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  z  e. Word  V
)
24 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )
2523, 24cshwcsh2id 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k
) ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) )
2625expdcom 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m
) )  ->  (
( k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) )  ->  (
( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
2726ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  =  ( y cyclShift  m )  /\  m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k
) )  ->  (
( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
2827expdcom 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  ->  (
y  =  ( z cyclShift  k )  ->  (
( x  =  ( y cyclShift  m )  /\  m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) )  ->  ( (
( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) ) )
2928com4t 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  =  ( y cyclShift  m )  /\  m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) )  ->  ( (
( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  ->  ( y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) ) )
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( y cyclShift  m
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  ->  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )
)  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  ->  ( y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) ) ) )
3130com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  ->  ( x  =  ( y cyclShift  m )  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  -> 
( y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) ) )
3231imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )
)  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  -> 
( y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) )
3332rexlimdva 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )
)  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  -> 
( E. k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) )
3433ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) )  ->  ( x  =  ( y cyclShift  m )  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
3534rexlimdva 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) x  =  ( y cyclShift  m )  ->  ( E. k  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
3620, 35syl7bi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) x  =  ( y cyclShift  m )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  n )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
3717, 36syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  n )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
3837exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )
)  ->  ( z  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  -> 
( E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  n )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) ) ) )
3938com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  n )  ->  ( z  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  (
( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( # `  y
) ) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) ) ) ) )
4039impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  n )
)  ->  ( (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  -> 
( E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  (
( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) )
41403adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  (
( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( # `  y
) ) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) ) ) )
4241impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  /\  (
y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  -> 
( E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  (
( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
4342com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )
)  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y
) ) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  ( ( ( (
# `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) ) )
44433impia 1193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) )  ->  (
( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) )
4544impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  /\  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
)
4613, 14, 453jca 1176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  /\  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) ) )  -> 
( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) )
474erclwwlkeq 24634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( x  .~  z  <->  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
48473adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  z  <->  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) ) )
4946, 48syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  /\  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) ) )  -> 
( ( x  e. 
_V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  x  .~  z
) )
5049exp31 604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  (
( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) )  ->  (
( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  x  .~  z ) ) ) )
5150com24 87 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y
) ) x  =  ( y cyclShift  n )
)  ->  ( (
y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  x  .~  z ) ) ) )
5251ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  y )  =  ( # `  z
)  ->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  ->  ( (
x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) )  ->  (
( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
5352com4t 85 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) )  ->  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  ->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  ->  ( (
y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
5412, 53sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  ->  ( (
y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
5554com25 91 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  ->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  ->  ( x  .~  y  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
5610, 55sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  ->  ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  ->  ( x  .~  y  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
578, 56mpdd 40 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  ->  ( ( # `  x
)  =  ( # `  y )  ->  (
x  .~  y  ->  x  .~  z ) ) ) )
5857com24 87 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  ( ( # `  x
)  =  ( # `  y )  ->  (
y  .~  z  ->  x  .~  z ) ) ) )
596, 58mpdd 40 . . 3  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  ( y  .~  z  ->  x  .~  z ) ) )
6059impd 431 . 2  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( x  .~  y  /\  y  .~  z
)  ->  x  .~  z ) )
611, 2, 3, 60mp3an 1324 1  |-  ( ( x  .~  y  /\  y  .~  z )  ->  x  .~  z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   class class class wbr 4453   {copab 4510   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0cc0 9504   ...cfz 11684   #chash 12385  Word cword 12515   cyclShift ccsh 12739   ClWWalks cclwwlk 24571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-substr 12527  df-csh 12740  df-clwwlk 24574
This theorem is referenced by:  erclwwlk  24639
  Copyright terms: Public domain W3C validator