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Theorem erclwwlktr 30410
Description:  .~ is a transitive relation over the set of closed walks (defined as words). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 11-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
erclwwlk.r  |-  .~  =  { <. u ,  w >.  |  ( u  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  w  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  w
) ) u  =  ( w cyclShift  n )
) }
Assertion
Ref Expression
erclwwlktr  |-  ( ( x  .~  y  /\  y  .~  z )  ->  x  .~  z )
Distinct variable groups:    n, E, u, w    n, V, u, w    x, n, u, w, y    z, n, u, w, x
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, z, w, u, n)    E( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem erclwwlktr
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2973 . 2  |-  x  e. 
_V
2 vex 2973 . 2  |-  y  e. 
_V
3 vex 2973 . 2  |-  z  e. 
_V
4 erclwwlk.r . . . . . 6  |-  .~  =  { <. u ,  w >.  |  ( u  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  w  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  w
) ) u  =  ( w cyclShift  n )
) }
54erclwwlkeqlen 30407 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x  .~  y  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )
653adant3 1003 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  (
# `  x )  =  ( # `  y
) ) )
74erclwwlkeqlen 30407 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( y  .~  z  ->  ( # `  y
)  =  ( # `  z ) ) )
873adant1 1001 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  ->  (
# `  y )  =  ( # `  z
) ) )
94erclwwlkeq 30406 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( y  .~  z  <->  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
1093adant1 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  <->  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  n )
) ) )
114erclwwlkeq 30406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x  .~  y  <->  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) ) ) )
12113adant3 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  <->  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y
) ) x  =  ( y cyclShift  n )
) ) )
13 simpr1 989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  /\  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) ) )  ->  x  e.  ( V ClWWalks  E ) )
14 simplr2 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  /\  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) ) )  -> 
z  e.  ( V ClWWalks  E ) )
15 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  m  ->  (
y cyclShift  n )  =  ( y cyclShift  m ) )
1615eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  m  ->  (
x  =  ( y cyclShift  n )  <->  x  =  ( y cyclShift  m ) ) )
1716cbvrexv 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y
) ) x  =  ( y cyclShift  n )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) ) x  =  ( y cyclShift  m )
)
18 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  k  ->  (
z cyclShift  n )  =  ( z cyclShift  k ) )
1918eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  k  ->  (
y  =  ( z cyclShift  n )  <->  y  =  ( z cyclShift  k ) ) )
2019cbvrexv 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  n )  <->  E. k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  k )
)
21 clwwlkprop 30358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( z  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  z  e. Word  V
) )
2221simp3d 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( z  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  z  e. Word  V
)
2322ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  z  e. Word  V
)
24 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )
2523, 24erclwwlktr0 30404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k
) ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) )
2625exp3acom3r 1419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m
) )  ->  (
( k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) )  ->  (
( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
2726ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  =  ( y cyclShift  m )  /\  m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k
) )  ->  (
( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
2827exp3acom3r 1419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  ->  (
y  =  ( z cyclShift  k )  ->  (
( x  =  ( y cyclShift  m )  /\  m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) )  ->  ( (
( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) ) )
2928com4t 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  =  ( y cyclShift  m )  /\  m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) )  ->  ( (
( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  ->  ( y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) ) )
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( y cyclShift  m
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  ->  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )
)  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  ->  ( y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) ) ) )
3130com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  ->  ( x  =  ( y cyclShift  m )  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  -> 
( y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) ) )
3231imp41 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )
)  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  -> 
( y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) )
3332rexlimdva 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )
)  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  -> 
( E. k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) )
3433ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) )  ->  ( x  =  ( y cyclShift  m )  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
3534rexlimdva 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) x  =  ( y cyclShift  m )  ->  ( E. k  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
3620, 35syl7bi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) x  =  ( y cyclShift  m )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  n )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
3717, 36syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E ) )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  n )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
3837exp31 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )
)  ->  ( z  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  -> 
( E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  n )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) ) ) )
3938com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  n )  ->  ( z  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  (
( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( # `  y
) ) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) ) ) ) )
4039impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) y  =  ( z cyclShift  n )
)  ->  ( (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  -> 
( E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  (
( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) )
41403adant1 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  (
( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( # `  y
) ) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) ) ) )
4241impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  /\  (
y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  -> 
( E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) ) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  (
( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
4342com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )
)  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y
) ) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  ( ( ( (
# `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) ) )
44433impia 1179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) )  ->  (
( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) )
4544impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  /\  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
)
4613, 14, 453jca 1163 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  /\  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) ) )  -> 
( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) )
474erclwwlkeq 30406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( x  .~  z  <->  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
48473adant2 1002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  z  <->  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) ) )
4946, 48syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  /\  ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) ) )  -> 
( ( x  e. 
_V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  x  .~  z
) )
5049exp31 601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  (
( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) )  ->  (
( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  x  .~  z ) ) ) )
5150com24 87 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y
) ) x  =  ( y cyclShift  n )
)  ->  ( (
y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  x  .~  z ) ) ) )
5251ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  y )  =  ( # `  z
)  ->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  ->  ( (
x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) )  ->  (
( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
5352com4t 85 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( x  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  y ) ) x  =  ( y cyclShift  n
) )  ->  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  ->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  ->  ( (
y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
5412, 53sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  ->  ( (
y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
5554com25 91 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( y  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  z  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  ->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  ->  ( x  .~  y  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
5610, 55sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  ->  ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  ->  ( x  .~  y  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
578, 56mpdd 40 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  ->  ( ( # `  x
)  =  ( # `  y )  ->  (
x  .~  y  ->  x  .~  z ) ) ) )
5857com24 87 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  ( ( # `  x
)  =  ( # `  y )  ->  (
y  .~  z  ->  x  .~  z ) ) ) )
596, 58mpdd 40 . . 3  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  ( y  .~  z  ->  x  .~  z ) ) )
6059imp3a 431 . 2  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( x  .~  y  /\  y  .~  z
)  ->  x  .~  z ) )
611, 2, 3, 60mp3an 1309 1  |-  ( ( x  .~  y  /\  y  .~  z )  ->  x  .~  z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   class class class wbr 4289   {copab 4346   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   ...cfz 11433   #chash 12099  Word cword 12217   cyclShift ccsh 12421   ClWWalks cclwwlk 30338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-hash 12100  df-word 12225  df-concat 12227  df-substr 12229  df-csh 12422  df-clwwlk 30341
This theorem is referenced by:  erclwwlk  30411
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