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Theorem erclwwlkntr 30513
Description:  .~ is a transitive relation over the set of closed walks (defined as words). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 14-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlkn.w  |-  W  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )
erclwwlkn.r  |-  .~  =  { <. t ,  u >.  |  ( t  e.  W  /\  u  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) t  =  ( u cyclShift  n ) ) }
Assertion
Ref Expression
erclwwlkntr  |-  ( ( x  .~  y  /\  y  .~  z )  ->  x  .~  z )
Distinct variable groups:    t, E, u    t, N, u    n, V, t, u    t, W, u    x, n, t, u    n, N    y, n, t, u, x    n, W    z, n, t, u, y, x
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, z, u, t, n)    E( x, y, z, n)    N( x, y, z)    V( x, y, z)    W( x, y, z)

Proof of Theorem erclwwlkntr
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2987 . 2  |-  x  e. 
_V
2 vex 2987 . 2  |-  y  e. 
_V
3 vex 2987 . 2  |-  z  e. 
_V
4 erclwwlkn.w . . . . . 6  |-  W  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )
5 erclwwlkn.r . . . . . 6  |-  .~  =  { <. t ,  u >.  |  ( t  e.  W  /\  u  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) t  =  ( u cyclShift  n ) ) }
64, 5erclwwlkneqlen 30510 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x  .~  y  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )
763adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  (
# `  x )  =  ( # `  y
) ) )
84, 5erclwwlkneqlen 30510 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( y  .~  z  ->  ( # `  y
)  =  ( # `  z ) ) )
983adant1 1006 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  ->  (
# `  y )  =  ( # `  z
) ) )
104, 5erclwwlkneq 30509 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( y  .~  z  <->  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
11103adant1 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  <->  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
124, 5erclwwlkneq 30509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x  .~  y  <->  ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n
) ) ) )
13123adant3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  <->  ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) ) ) )
14 simpr1 994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) ) )  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) ) )  ->  x  e.  W
)
15 simplr2 1031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) ) )  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) ) )  ->  z  e.  W
)
16 oveq2 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  m  ->  (
y cyclShift  n )  =  ( y cyclShift  m ) )
1716eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  m  ->  (
x  =  ( y cyclShift  n )  <->  x  =  ( y cyclShift  m ) ) )
1817cbvrexv 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n
)  <->  E. m  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  m ) )
19 oveq2 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  k  ->  (
z cyclShift  n )  =  ( z cyclShift  k ) )
2019eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  k  ->  (
y  =  ( z cyclShift  n )  <->  y  =  ( z cyclShift  k ) ) )
2120cbvrexv 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
)  <->  E. k  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  k ) )
22 clwwlknprop 30447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( z  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  z  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 z )  =  N ) ) )
23 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( (
# `  z )  =  N  <->  N  =  ( # `
 z ) )
2423biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
# `  z )  =  N  ->  N  =  ( # `  z
) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  z )  =  N )  ->  N  =  ( # `  z
) )
26253ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  z  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  z
)  =  N ) )  ->  N  =  ( # `  z ) )
2722, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( z  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  N  =  ( # `  z ) )
2827, 4eleq2s 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( z  e.  W  ->  N  =  ( # `  z
) )
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W
)  /\  z  e.  W )  ->  N  =  ( # `  z
) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  N  =  (
# `  z )
)
3122simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( z  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  z  e. Word  V )
3231, 4eleq2s 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( z  e.  W  ->  z  e. Word  V )
3332adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W
)  /\  z  e.  W )  ->  z  e. Word  V )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  z  e. Word  V
)
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  z  e. Word  V )
36 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( ( # `
 y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )
3735, 36erclwwlktr0 30491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( (
( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k
) ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) )
38 oveq2 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( N  =  ( # `  z
)  ->  ( 0 ... N )  =  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )
39 oveq2 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( (
# `  z )  =  ( # `  y
)  ->  ( 0 ... ( # `  z
) )  =  ( 0 ... ( # `  y ) ) )
4039eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( (
# `  y )  =  ( # `  z
)  ->  ( 0 ... ( # `  z
) )  =  ( 0 ... ( # `  y ) ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
0 ... ( # `  z
) )  =  ( 0 ... ( # `  y ) ) )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( 0 ... ( # `  z
) )  =  ( 0 ... ( # `  y ) ) )
4338, 42sylan9eq 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( 0 ... N )  =  ( 0 ... ( # `
 y ) ) )
4443eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  <->  m  e.  (
0 ... ( # `  y
) ) ) )
4544anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... N )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  <->  ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) ) ) )
4638eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  =  ( # `  z
)  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  <->  k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) ) )
4746anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( N  =  ( # `  z
)  ->  ( (
k  e.  ( 0 ... N )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) )  <->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) ) ) )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( 0 ... N )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) )  <->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) ) ) )
4945, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( (
( m  e.  ( 0 ... N )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) ) )  <-> 
( ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) ) ) ) )
5038rexeqdv 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  =  ( # `  z
)  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) )
5237, 49, 513imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( (
( m  e.  ( 0 ... N )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) )
5330, 52mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( ( ( m  e.  ( 0 ... N )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... N )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) )
5453expdcom 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... N )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  ->  (
( k  e.  ( 0 ... N )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W
)  /\  ( ( # `
 y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
5554ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  =  ( y cyclShift  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( k  e.  ( 0 ... N )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W
)  /\  ( ( # `
 y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
5655expdcom 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
y  =  ( z cyclShift  k )  ->  (
( x  =  ( y cyclShift  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) )
5756com4t 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  =  ( y cyclShift  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) )
5857ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( y cyclShift  m
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) ) )
5958com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( x  =  ( y cyclShift  m
)  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) ) )
6059imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W
)  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m )
)  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) )
6160rexlimdva 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W
)  /\  ( ( # `
 y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m )
)  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) )
6261ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( x  =  ( y cyclShift  m
)  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
6362rexlimdva 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  m )  ->  ( E. k  e.  (
0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
6421, 63syl7bi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  m )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
6518, 64syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
6665exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  ->  ( z  e.  W  ->  ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  -> 
( E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) ) )
6766com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
)  ->  ( z  e.  W  ->  ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n
)  ->  ( (
x  e.  W  /\  y  e.  W )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) ) )
6867impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  (
( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n
)  ->  ( (
x  e.  W  /\  y  e.  W )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) )
69683adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  (
( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n
)  ->  ( (
x  e.  W  /\  y  e.  W )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) )
7069impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  /\  (
y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  -> 
( E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  (
( x  e.  W  /\  y  e.  W
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
7170com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  (
( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
72713impia 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n
) )  ->  (
( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
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7372impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) ) )  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) )
7414, 15, 733jca 1168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) ) )  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) ) )  ->  ( x  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) )
754, 5erclwwlkneq 30509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( x  .~  z  <->  ( x  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
76753adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  z  <->  ( x  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
7774, 76syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) ) )  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) ) )  ->  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e. 
_V )  ->  x  .~  z ) )
7877exp31 604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) )  -> 
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) )  -> 
( ( x  e. 
_V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  x  .~  z
) ) ) )
7978com24 87 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) )  -> 
( ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( z cyclShift  n ) )  ->  x  .~  z ) ) ) )
8079ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  y )  =  ( # `  z
)  ->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  ->  ( (
x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n ) )  -> 
( ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( z cyclShift  n ) )  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
8180com4t 85 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n ) )  -> 
( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  ->  ( (
y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
8213, 81sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  ->  ( (
y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
8382com25 91 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) )  -> 
( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  ->  ( x  .~  y  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
8411, 83sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  ->  ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  ->  ( x  .~  y  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
859, 84mpdd 40 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  ->  ( ( # `  x
)  =  ( # `  y )  ->  (
x  .~  y  ->  x  .~  z ) ) ) )
8685com24 87 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  ( ( # `  x
)  =  ( # `  y )  ->  (
y  .~  z  ->  x  .~  z ) ) ) )
877, 86mpdd 40 . . 3  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  ( y  .~  z  ->  x  .~  z ) ) )
8887impd 431 . 2  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( x  .~  y  /\  y  .~  z
)  ->  x  .~  z ) )
891, 2, 3, 88mp3an 1314 1  |-  ( ( x  .~  y  /\  y  .~  z )  ->  x  .~  z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2728   _Vcvv 2984   class class class wbr 4304   {copab 4361   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   0cc0 9294   NN0cn0 10591   ...cfz 11449   #chash 12115  Word cword 12233   cyclShift ccsh 12437   ClWWalksN cclwwlkn 30426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-hash 12116  df-word 12241  df-concat 12243  df-substr 12245  df-csh 12438  df-clwwlk 30428  df-clwwlkn 30429
This theorem is referenced by:  erclwwlkn  30514
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