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Theorem erclwwlkntr 25555
Description:  .~ is a transitive relation over the set of closed walks (defined as words). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 14-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlkn.w  |-  W  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )
erclwwlkn.r  |-  .~  =  { <. t ,  u >.  |  ( t  e.  W  /\  u  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) t  =  ( u cyclShift  n ) ) }
Assertion
Ref Expression
erclwwlkntr  |-  ( ( x  .~  y  /\  y  .~  z )  ->  x  .~  z )
Distinct variable groups:    t, E, u    t, N, u    n, V, t, u    t, W, u    x, n, t, u    n, N    y, n, t, u, x    n, W    z, n, t, u, y, x
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, z, u, t, n)    E( x, y, z, n)    N( x, y, z)    V( x, y, z)    W( x, y, z)

Proof of Theorem erclwwlkntr
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3048 . 2  |-  x  e. 
_V
2 vex 3048 . 2  |-  y  e. 
_V
3 vex 3048 . 2  |-  z  e. 
_V
4 erclwwlkn.w . . . . . 6  |-  W  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )
5 erclwwlkn.r . . . . . 6  |-  .~  =  { <. t ,  u >.  |  ( t  e.  W  /\  u  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) t  =  ( u cyclShift  n ) ) }
64, 5erclwwlkneqlen 25552 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x  .~  y  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )
763adant3 1028 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  (
# `  x )  =  ( # `  y
) ) )
84, 5erclwwlkneqlen 25552 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( y  .~  z  ->  ( # `  y
)  =  ( # `  z ) ) )
983adant1 1026 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  ->  (
# `  y )  =  ( # `  z
) ) )
104, 5erclwwlkneq 25551 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( y  .~  z  <->  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
11103adant1 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  <->  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
124, 5erclwwlkneq 25551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x  .~  y  <->  ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n
) ) ) )
13123adant3 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  <->  ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) ) ) )
14 simpr1 1014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) ) )  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) ) )  ->  x  e.  W
)
15 simplr2 1051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) ) )  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) ) )  ->  z  e.  W
)
16 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  m  ->  (
y cyclShift  n )  =  ( y cyclShift  m ) )
1716eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  m  ->  (
x  =  ( y cyclShift  n )  <->  x  =  ( y cyclShift  m ) ) )
1817cbvrexv 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n
)  <->  E. m  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  m ) )
19 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  k  ->  (
z cyclShift  n )  =  ( z cyclShift  k ) )
2019eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  k  ->  (
y  =  ( z cyclShift  n )  <->  y  =  ( z cyclShift  k ) ) )
2120cbvrexv 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
)  <->  E. k  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  k ) )
22 clwwlknprop 25500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( z  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  z  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 z )  =  N ) ) )
23 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( (
# `  z )  =  N  <->  N  =  ( # `
 z ) )
2423biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
# `  z )  =  N  ->  N  =  ( # `  z
) )
2524adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  z )  =  N )  ->  N  =  ( # `  z
) )
26253ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  z  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  z
)  =  N ) )  ->  N  =  ( # `  z ) )
2722, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( z  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  N  =  ( # `  z ) )
2827, 4eleq2s 2547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( z  e.  W  ->  N  =  ( # `  z
) )
2928adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W
)  /\  z  e.  W )  ->  N  =  ( # `  z
) )
3029adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  N  =  (
# `  z )
)
3122simp2d 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( z  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  z  e. Word  V )
3231, 4eleq2s 2547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( z  e.  W  ->  z  e. Word  V )
3332adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W
)  /\  z  e.  W )  ->  z  e. Word  V )
3433adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  z  e. Word  V
)
3534adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  z  e. Word  V )
36 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( ( # `
 y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )
3735, 36cshwcsh2id 12927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( (
( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k
) ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) )
38 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( N  =  ( # `  z
)  ->  ( 0 ... N )  =  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )
39 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( (
# `  z )  =  ( # `  y
)  ->  ( 0 ... ( # `  z
) )  =  ( 0 ... ( # `  y ) ) )
4039eqcoms 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( (
# `  y )  =  ( # `  z
)  ->  ( 0 ... ( # `  z
) )  =  ( 0 ... ( # `  y ) ) )
4140adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
0 ... ( # `  z
) )  =  ( 0 ... ( # `  y ) ) )
4241adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( 0 ... ( # `  z
) )  =  ( 0 ... ( # `  y ) ) )
4338, 42sylan9eq 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( 0 ... N )  =  ( 0 ... ( # `
 y ) ) )
4443eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  <->  m  e.  (
0 ... ( # `  y
) ) ) )
4544anbi1d 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... N )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  <->  ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) ) ) )
4638eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  =  ( # `  z
)  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  <->  k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) ) )
4746anbi1d 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( N  =  ( # `  z
)  ->  ( (
k  e.  ( 0 ... N )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) )  <->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) ) ) )
4847adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( 0 ... N )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) )  <->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) ) ) )
4945, 48anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( (
( m  e.  ( 0 ... N )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) ) )  <-> 
( ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) ) ) ) )
5038rexeqdv 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  =  ( # `  z
)  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) )
5150adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) )
5237, 49, 513imtr4d 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( N  =  ( # `  z )  /\  (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) ) )  ->  ( (
( m  e.  ( 0 ... N )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) )
5330, 52mpancom 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( ( ( m  e.  ( 0 ... N )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... N )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) )
5453expdcom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... N )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  ->  (
( k  e.  ( 0 ... N )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W
)  /\  ( ( # `
 y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
5554ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  =  ( y cyclShift  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( k  e.  ( 0 ... N )  /\  y  =  ( z cyclShift  k ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W
)  /\  ( ( # `
 y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
5655expdcom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
y  =  ( z cyclShift  k )  ->  (
( x  =  ( y cyclShift  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) )
5756com4t 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  =  ( y cyclShift  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) )
5857ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( y cyclShift  m
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( (
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) ) )
5958com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( x  =  ( y cyclShift  m
)  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) ) )
6059imp41 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W
)  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m )
)  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
y  =  ( z cyclShift  k )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) )
6160rexlimdva 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W
)  /\  ( ( # `
 y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m )
)  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) )
6261ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( x  =  ( y cyclShift  m
)  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
6362rexlimdva 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  m )  ->  ( E. k  e.  (
0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
6421, 63syl7bi 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  m )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
6518, 64syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  /\  z  e.  W )  /\  (
( # `  y )  =  ( # `  z
)  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) ) )  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
6665exp31 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  ->  ( z  e.  W  ->  ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  -> 
( E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) ) )
6766com15 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
)  ->  ( z  e.  W  ->  ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n
)  ->  ( (
x  e.  W  /\  y  e.  W )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) ) )
6867impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  (
( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n
)  ->  ( (
x  e.  W  /\  y  e.  W )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) )
69683adant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  (
( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n
)  ->  ( (
x  e.  W  /\  y  e.  W )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) ) )
7069impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  /\  (
y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
) ) )  -> 
( E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  (
( x  e.  W  /\  y  e.  W
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
7170com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W )  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n )  ->  (
( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
72713impia 1205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n
) )  ->  (
( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) ) )
7372impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) ) )  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n ) )
7414, 15, 733jca 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) ) )  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) ) )  ->  ( x  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) )
754, 5erclwwlkneq 25551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( x  .~  z  <->  ( x  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( z cyclShift  n
) ) ) )
76753adant2 1027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  z  <->  ( x  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( z cyclShift  n ) ) ) )
7774, 76syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( # `  y )  =  (
# `  z )  /\  ( # `  x
)  =  ( # `  y ) )  /\  ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) ) )  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) ) )  ->  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e. 
_V )  ->  x  .~  z ) )
7877exp31 609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) )  -> 
( ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) )  -> 
( ( x  e. 
_V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  x  .~  z
) ) ) )
7978com24 90 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) x  =  ( y cyclShift  n ) )  -> 
( ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( z cyclShift  n ) )  ->  x  .~  z ) ) ) )
8079ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  y )  =  ( # `  z
)  ->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  ->  ( (
x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n ) )  -> 
( ( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( z cyclShift  n ) )  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
8180com4t 88 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( x  e.  W  /\  y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) x  =  ( y cyclShift  n ) )  -> 
( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  ->  ( (
y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
8213, 81sylbid 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  ->  ( (
y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n
) )  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
8382com25 94 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( y  e.  W  /\  z  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( z cyclShift  n ) )  -> 
( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  ->  ( x  .~  y  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
8411, 83sylbid 219 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  ->  ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  ->  ( x  .~  y  ->  x  .~  z ) ) ) ) )
859, 84mpdd 41 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
y  .~  z  ->  ( ( # `  x
)  =  ( # `  y )  ->  (
x  .~  y  ->  x  .~  z ) ) ) )
8685com24 90 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  ( ( # `  x
)  =  ( # `  y )  ->  (
y  .~  z  ->  x  .~  z ) ) ) )
877, 86mpdd 41 . . 3  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
x  .~  y  ->  ( y  .~  z  ->  x  .~  z ) ) )
8887impd 433 . 2  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  (
( x  .~  y  /\  y  .~  z
)  ->  x  .~  z ) )
891, 2, 3, 88mp3an 1364 1  |-  ( ( x  .~  y  /\  y  .~  z )  ->  x  .~  z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   class class class wbr 4402   {copab 4460   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   0cc0 9539   NN0cn0 10869   ...cfz 11784   #chash 12515  Word cword 12656   cyclShift ccsh 12890   ClWWalksN cclwwlkn 25477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-substr 12668  df-csh 12891  df-clwwlk 25479  df-clwwlkn 25480
This theorem is referenced by:  erclwwlkn  25556
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