Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  erclwwlknref Structured version   Unicode version

Theorem erclwwlknref 24616
 Description: is a reflexive relation over the set of closed walks (defined as words). (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 14-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlkn.w ClWWalksN
erclwwlkn.r cyclShift
Assertion
Ref Expression
erclwwlknref
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem erclwwlknref
StepHypRef Expression
1 df-3an 975 . . 3 cyclShift cyclShift
2 anidm 644 . . . 4
32anbi1i 695 . . 3 cyclShift cyclShift
41, 3bitri 249 . 2 cyclShift cyclShift
5 vex 3121 . . 3
6 erclwwlkn.w . . . 4 ClWWalksN
7 erclwwlkn.r . . . 4 cyclShift
86, 7erclwwlkneq 24614 . . 3 cyclShift
95, 5, 8mp2an 672 . 2 cyclShift
10 clwwlknprop 24563 . . . . 5 ClWWalksN Word
11 cshw0 12740 . . . . . . 7 Word cyclShift
12113ad2ant2 1018 . . . . . 6 Word cyclShift
13 0elfz 11782 . . . . . . . . 9
1413adantr 465 . . . . . . . 8
15143ad2ant3 1019 . . . . . . 7 Word
16 eqcom 2476 . . . . . . . 8 cyclShift cyclShift
1716biimpi 194 . . . . . . 7 cyclShift cyclShift
18 oveq2 6302 . . . . . . . . 9 cyclShift cyclShift
1918eqeq2d 2481 . . . . . . . 8 cyclShift cyclShift
2019rspcev 3219 . . . . . . 7 cyclShift cyclShift
2115, 17, 20syl2an 477 . . . . . 6 Word cyclShift cyclShift
2212, 21mpdan 668 . . . . 5 Word cyclShift
2310, 22syl 16 . . . 4 ClWWalksN cyclShift
2423, 6eleq2s 2575 . . 3 cyclShift
2524pm4.71i 632 . 2 cyclShift
264, 9, 253bitr4ri 278 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wrex 2818  cvv 3118   class class class wbr 4452  copab 4509  cfv 5593  (class class class)co 6294  cc0 9502  cn0 10805  cfz 11682  chash 12383  Word cword 12510   cyclShift ccsh 12734   ClWWalksN cclwwlkn 24540 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-rp 11231  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-hash 12384  df-word 12518  df-concat 12520  df-substr 12522  df-csh 12735  df-clwwlk 24542  df-clwwlkn 24543 This theorem is referenced by:  erclwwlkn  24619
 Copyright terms: Public domain W3C validator