Theorem ercgrg 23100

Description: The shape congruence relation is an equivalence relation. Statement 4.4 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ercgrg.p	|- P = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
ercgrg	|- ( G e. TarskiG -> (cgrG ` G ) Er ( P ^pm RR ) )

Proof of Theorem ercgrg

Dummy variables a b g i j x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cgrg 23095	. . . 4 |- cgrG = ( g e. _V |-> { <. a , b >. | ( ( a e. ( ( Base ` g ) ^pm RR ) /\ b e. ( ( Base ` g ) ^pm RR ) ) /\ ( dom a = dom b /\ A. i e. dom a A. j e. dom a ( ( a ` i ) ( dist ` g ) ( a ` j ) ) = ( ( b ` i ) ( dist ` g ) ( b ` j ) ) ) ) } )
2	1	relmptopab 6413	. . 3 |- Rel (cgrG ` G )
3	2	a1i 11	. 2 |- ( G e. TarskiG -> Rel (cgrG ` G ) )
4		ercgrg.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( Base ` G )
5		eqid 2452	. . . . . . . . 9 |- ( dist ` G ) = ( dist ` G )
6		eqid 2452	. . . . . . . . 9 |- (cgrG ` G ) = (cgrG ` G )
7	4, 5, 6	iscgrg 23096	. . . . . . . 8 |- ( G e. TarskiG -> ( x (cgrG ` G ) y <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ y e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) ) ) )
8	7	biimpa 484	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ y e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) ) )
9	8	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( x e. ( P ^pm RR ) /\ y e. ( P ^pm RR ) ) )
10	9	simprd 463	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> y e. ( P ^pm RR ) )
11	9	simpld 459	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> x e. ( P ^pm RR ) )
12	10, 11	jca 532	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( y e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) )
13	8	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) )
14	13	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> dom x = dom y )
15	14	eqcomd 2460	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> dom y = dom x )
16		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) )
17		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> i e. dom y )
18	16, 14	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> dom x = dom y )
19	17, 18	eleqtrrd 2543	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> i e. dom x )
20		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> j e. dom y )
21	20, 18	eleqtrrd 2543	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> j e. dom x )
22	13	simprd 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
23	22	r19.21bi 2914	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ i e. dom x ) -> A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
24	23	r19.21bi 2914	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ i e. dom x ) /\ j e. dom x ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
25	16, 19, 21, 24	syl21anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
26	25	eqcomd 2460	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) )
27	26	ralrimivva 2908	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) )
28	15, 27	jca 532	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( dom y = dom x /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) )
29	12, 28	jca 532	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom x /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) )
30	4, 5, 6	iscgrg 23096	. . . 4 |- ( G e. TarskiG -> ( y (cgrG ` G ) x <-> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom x /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) ) )
31	30	adantr 465	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( y (cgrG ` G ) x <-> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom x /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) ) )
32	29, 31	mpbird 232	. 2 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> y (cgrG ` G ) x )
33	11	adantrr 716	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> x e. ( P ^pm RR ) )
34	4, 5, 6	iscgrg 23096	. . . . . . . . 9 |- ( G e. TarskiG -> ( y (cgrG ` G ) z <-> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom z /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) ) )
35	34	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TarskiG /\ y (cgrG ` G ) z ) -> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom z /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) )
36	35	adantrl 715	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom z /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) )
37	36	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( y e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) )
38	37	simprd 463	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> z e. ( P ^pm RR ) )
39	33, 38	jca 532	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( x e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) )
40	8	adantrr 716	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ y e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) ) )
41	40	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) )
42	41	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> dom x = dom y )
43	36	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( dom y = dom z /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) )
44	43	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> dom y = dom z )
45	42, 44	eqtrd 2493	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> dom x = dom z )
46	41	simprd 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
47	46	r19.21bi 2914	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ i e. dom x ) -> A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
48	47	r19.21bi 2914	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ i e. dom x ) /\ j e. dom x ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
49	48	anasss 647	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
50		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) )
51		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> i e. dom x )
52	50, 42	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> dom x = dom y )
53	51, 52	eleqtrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> i e. dom y )
54		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> j e. dom x )
55	54, 52	eleqtrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> j e. dom y )
56	43	simprd 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
57	56	r19.21bi 2914	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ i e. dom y ) -> A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
58	57	r19.21bi 2914	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ i e. dom y ) /\ j e. dom y ) -> ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
59	50, 53, 55, 58	syl21anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
60	49, 59	eqtrd 2493	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
61	60	ralrimivva 2908	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
62	45, 61	jca 532	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( dom x = dom z /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) )
63	39, 62	jca 532	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom z /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) )
64	4, 5, 6	iscgrg 23096	. . . 4 |- ( G e. TarskiG -> ( x (cgrG ` G ) z <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom z /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) ) )
65	64	adantr 465	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( x (cgrG ` G ) z <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom z /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) ) )
66	63, 65	mpbird 232	. 2 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> x (cgrG ` G ) z )
67	4, 5, 6	iscgrg 23096	. . 3 |- ( G e. TarskiG -> ( x (cgrG ` G ) x <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom x /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) ) )
68		pm4.24 643	. . . 4 |- ( x e. ( P ^pm RR ) <-> ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) )
69		eqid 2452	. . . . . 6 |- dom x = dom x
70		eqidd 2453	. . . . . . 7 |- ( ( i e. dom x /\ j e. dom x ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) )
71	70	rgen2 2912	. . . . . 6 |- A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) )
72	69, 71	pm3.2i 455	. . . . 5 |- ( dom x = dom x /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) )
73	72	biantru 505	. . . 4 |- ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom x /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) )
74	68, 73	bitri 249	. . 3 |- ( x e. ( P ^pm RR ) <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom x /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) )
75	67, 74	syl6rbbr 264	. 2 |- ( G e. TarskiG -> ( x e. ( P ^pm RR ) <-> x (cgrG ` G ) x ) )
76	3, 32, 66, 75	iserd 7232	1 |- ( G e. TarskiG -> (cgrG ` G ) Er ( P ^pm RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2796   _Vcvv 3072   class class class wbr 4395   dom cdm 4943   Rel wrel 4948   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Er wer 7203   ^pm cpm 7320   RRcr 9387   Basecbs 14287   distcds 14361  TarskiGcstrkg 23017  cgrGccgrg 23094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fv 5529  df-ov 6198  df-er 7206  df-cgrg 23095

This theorem is referenced by: (None)