Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ercgrg Structured version   Unicode version

Theorem ercgrg 23100
 Description: The shape congruence relation is an equivalence relation. Statement 4.4 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ercgrg.p
Assertion
Ref Expression
ercgrg TarskiG cgrG

Proof of Theorem ercgrg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cgrg 23095 . . . 4 cgrG
21relmptopab 6413 . . 3 cgrG
32a1i 11 . 2 TarskiG cgrG
4 ercgrg.p . . . . . . . . 9
5 eqid 2452 . . . . . . . . 9
6 eqid 2452 . . . . . . . . 9 cgrG cgrG
74, 5, 6iscgrg 23096 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG
87biimpa 484 . . . . . . 7 TarskiG cgrG
98simpld 459 . . . . . 6 TarskiG cgrG
109simprd 463 . . . . 5 TarskiG cgrG
119simpld 459 . . . . 5 TarskiG cgrG
1210, 11jca 532 . . . 4 TarskiG cgrG
138simprd 463 . . . . . . 7 TarskiG cgrG
1413simpld 459 . . . . . 6 TarskiG cgrG
1514eqcomd 2460 . . . . 5 TarskiG cgrG
16 simpl 457 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG TarskiG cgrG
17 simprl 755 . . . . . . . . 9 TarskiG cgrG
1816, 14syl 16 . . . . . . . . 9 TarskiG cgrG
1917, 18eleqtrrd 2543 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG
20 simprr 756 . . . . . . . . 9 TarskiG cgrG
2120, 18eleqtrrd 2543 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG
2213simprd 463 . . . . . . . . . 10 TarskiG cgrG
2322r19.21bi 2914 . . . . . . . . 9 TarskiG cgrG
2423r19.21bi 2914 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG
2516, 19, 21, 24syl21anc 1218 . . . . . . 7 TarskiG cgrG
2625eqcomd 2460 . . . . . 6 TarskiG cgrG
2726ralrimivva 2908 . . . . 5 TarskiG cgrG
2815, 27jca 532 . . . 4 TarskiG cgrG
2912, 28jca 532 . . 3 TarskiG cgrG
304, 5, 6iscgrg 23096 . . . 4 TarskiG cgrG
3130adantr 465 . . 3 TarskiG cgrG cgrG
3229, 31mpbird 232 . 2 TarskiG cgrG cgrG
3311adantrr 716 . . . . 5 TarskiG cgrG cgrG
344, 5, 6iscgrg 23096 . . . . . . . . 9 TarskiG cgrG
3534biimpa 484 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG
3635adantrl 715 . . . . . . 7 TarskiG cgrG cgrG
3736simpld 459 . . . . . 6 TarskiG cgrG cgrG
3837simprd 463 . . . . 5 TarskiG cgrG cgrG
3933, 38jca 532 . . . 4 TarskiG cgrG cgrG
408adantrr 716 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG cgrG
4140simprd 463 . . . . . . 7 TarskiG cgrG cgrG
4241simpld 459 . . . . . 6 TarskiG cgrG cgrG
4336simprd 463 . . . . . . 7 TarskiG cgrG cgrG
4443simpld 459 . . . . . 6 TarskiG cgrG cgrG
4542, 44eqtrd 2493 . . . . 5 TarskiG cgrG cgrG
4641simprd 463 . . . . . . . . . 10 TarskiG cgrG cgrG
4746r19.21bi 2914 . . . . . . . . 9 TarskiG cgrG cgrG
4847r19.21bi 2914 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG cgrG
4948anasss 647 . . . . . . 7 TarskiG cgrG cgrG
50 simpl 457 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG cgrG TarskiG cgrG cgrG
51 simprl 755 . . . . . . . . 9 TarskiG cgrG cgrG
5250, 42syl 16 . . . . . . . . 9 TarskiG cgrG cgrG
5351, 52eleqtrd 2542 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG cgrG
54 simprr 756 . . . . . . . . 9 TarskiG cgrG cgrG
5554, 52eleqtrd 2542 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG cgrG
5643simprd 463 . . . . . . . . . 10 TarskiG cgrG cgrG
5756r19.21bi 2914 . . . . . . . . 9 TarskiG cgrG cgrG
5857r19.21bi 2914 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG cgrG
5950, 53, 55, 58syl21anc 1218 . . . . . . 7 TarskiG cgrG cgrG
6049, 59eqtrd 2493 . . . . . 6 TarskiG cgrG cgrG
6160ralrimivva 2908 . . . . 5 TarskiG cgrG cgrG
6245, 61jca 532 . . . 4 TarskiG cgrG cgrG
6339, 62jca 532 . . 3 TarskiG cgrG cgrG
644, 5, 6iscgrg 23096 . . . 4 TarskiG cgrG
6564adantr 465 . . 3 TarskiG cgrG cgrG cgrG
6663, 65mpbird 232 . 2 TarskiG cgrG cgrG cgrG
674, 5, 6iscgrg 23096 . . 3 TarskiG cgrG
68 pm4.24 643 . . . 4
69 eqid 2452 . . . . . 6
70 eqidd 2453 . . . . . . 7
7170rgen2 2912 . . . . . 6
7269, 71pm3.2i 455 . . . . 5
7372biantru 505 . . . 4
7468, 73bitri 249 . . 3
7567, 74syl6rbbr 264 . 2 TarskiG cgrG
763, 32, 66, 75iserd 7232 1 TarskiG cgrG
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  wral 2796  cvv 3072   class class class wbr 4395   cdm 4943   wrel 4948  cfv 5521  (class class class)co 6195   wer 7203   cpm 7320  cr 9387  cbs 14287  cds 14361  TarskiGcstrkg 23017  cgrGccgrg 23094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fv 5529  df-ov 6198  df-er 7206  df-cgrg 23095 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator