Theorem ercgrg 23773

Description: The shape congruence relation is an equivalence relation. Statement 4.4 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ercgrg.p	|- P = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
ercgrg	|- ( G e. TarskiG -> (cgrG ` G ) Er ( P ^pm RR ) )

Proof of Theorem ercgrg

Dummy variables a b g i j x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cgrg 23768	. . . 4 |- cgrG = ( g e. _V |-> { <. a , b >. | ( ( a e. ( ( Base ` g ) ^pm RR ) /\ b e. ( ( Base ` g ) ^pm RR ) ) /\ ( dom a = dom b /\ A. i e. dom a A. j e. dom a ( ( a ` i ) ( dist ` g ) ( a ` j ) ) = ( ( b ` i ) ( dist ` g ) ( b ` j ) ) ) ) } )
2	1	relmptopab 6504	. . 3 |- Rel (cgrG ` G )
3	2	a1i 11	. 2 |- ( G e. TarskiG -> Rel (cgrG ` G ) )
4		ercgrg.p	. . . . . . 7 |- P = ( Base ` G )
5		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( dist ` G ) = ( dist ` G )
6		eqid 2441	. . . . . . 7 |- (cgrG ` G ) = (cgrG ` G )
7	4, 5, 6	iscgrg 23769	. . . . . 6 |- ( G e. TarskiG -> ( x (cgrG ` G ) y <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ y e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) ) ) )
8	7	biimpa 484	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ y e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) ) )
9	8	simpld 459	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( x e. ( P ^pm RR ) /\ y e. ( P ^pm RR ) ) )
10	9	ancomd 451	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( y e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) )
11	8	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) )
12	11	simpld 459	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> dom x = dom y )
13	12	eqcomd 2449	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> dom y = dom x )
14		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) )
15		simprl 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> i e. dom y )
16	12	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> dom x = dom y )
17	15, 16	eleqtrrd 2532	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> i e. dom x )
18		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> j e. dom y )
19	18, 16	eleqtrrd 2532	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> j e. dom x )
20	11	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
21	20	r19.21bi 2810	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ i e. dom x ) -> A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
22	21	r19.21bi 2810	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ i e. dom x ) /\ j e. dom x ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
23	14, 17, 19, 22	syl21anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
24	23	eqcomd 2449	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) )
25	24	ralrimivva 2862	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) )
26	13, 25	jca 532	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( dom y = dom x /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) )
27	4, 5, 6	iscgrg 23769	. . . 4 |- ( G e. TarskiG -> ( y (cgrG ` G ) x <-> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom x /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) ) )
28	27	adantr 465	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( y (cgrG ` G ) x <-> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom x /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) ) )
29	10, 26, 28	mpbir2and 920	. 2 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> y (cgrG ` G ) x )
30	9	simpld 459	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> x e. ( P ^pm RR ) )
31	30	adantrr 716	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> x e. ( P ^pm RR ) )
32	4, 5, 6	iscgrg 23769	. . . . . . . 8 |- ( G e. TarskiG -> ( y (cgrG ` G ) z <-> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom z /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) ) )
33	32	biimpa 484	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TarskiG /\ y (cgrG ` G ) z ) -> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom z /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) )
34	33	adantrl 715	. . . . . 6 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom z /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) )
35	34	simpld 459	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( y e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) )
36	35	simprd 463	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> z e. ( P ^pm RR ) )
37	31, 36	jca 532	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( x e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) )
38	8	adantrr 716	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ y e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) ) )
39	38	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) )
40	39	simpld 459	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> dom x = dom y )
41	34	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( dom y = dom z /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) )
42	41	simpld 459	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> dom y = dom z )
43	40, 42	eqtrd 2482	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> dom x = dom z )
44	39	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
45	44	r19.21bi 2810	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ i e. dom x ) -> A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
46	45	r19.21bi 2810	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ i e. dom x ) /\ j e. dom x ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
47	46	anasss 647	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
48		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) )
49		simprl 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> i e. dom x )
50	40	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> dom x = dom y )
51	49, 50	eleqtrd 2531	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> i e. dom y )
52		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> j e. dom x )
53	52, 50	eleqtrd 2531	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> j e. dom y )
54	41	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
55	54	r19.21bi 2810	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ i e. dom y ) -> A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
56	55	r19.21bi 2810	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ i e. dom y ) /\ j e. dom y ) -> ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
57	48, 51, 53, 56	syl21anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
58	47, 57	eqtrd 2482	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
59	58	ralrimivva 2862	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
60	43, 59	jca 532	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( dom x = dom z /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) )
61	4, 5, 6	iscgrg 23769	. . . 4 |- ( G e. TarskiG -> ( x (cgrG ` G ) z <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom z /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) ) )
62	61	adantr 465	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( x (cgrG ` G ) z <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom z /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) ) )
63	37, 60, 62	mpbir2and 920	. 2 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> x (cgrG ` G ) z )
64	4, 5, 6	iscgrg 23769	. . 3 |- ( G e. TarskiG -> ( x (cgrG ` G ) x <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom x /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) ) )
65		pm4.24 643	. . . 4 |- ( x e. ( P ^pm RR ) <-> ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) )
66		eqid 2441	. . . . . 6 |- dom x = dom x
67		eqidd 2442	. . . . . . 7 |- ( ( i e. dom x /\ j e. dom x ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) )
68	67	rgen2a 2868	. . . . . 6 |- A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) )
69	66, 68	pm3.2i 455	. . . . 5 |- ( dom x = dom x /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) )
70	69	biantru 505	. . . 4 |- ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom x /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) )
71	65, 70	bitri 249	. . 3 |- ( x e. ( P ^pm RR ) <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom x /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) )
72	64, 71	syl6rbbr 264	. 2 |- ( G e. TarskiG -> ( x e. ( P ^pm RR ) <-> x (cgrG ` G ) x ) )
73	3, 29, 63, 72	iserd 7335	1 |- ( G e. TarskiG -> (cgrG ` G ) Er ( P ^pm RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1381   e. wcel 1802   A.wral 2791   _Vcvv 3093   class class class wbr 4433   dom cdm 4985   Rel wrel 4990   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Er wer 7306   ^pm cpm 7419   RRcr 9489   Basecbs 14504   distcds 14578  TarskiGcstrkg 23690  cgrGccgrg 23767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fv 5582  df-ov 6280  df-er 7309  df-cgrg 23768

This theorem is referenced by: (None)