Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ercgrg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ercgrg 24641
 Description: The shape congruence relation is an equivalence relation. Statement 4.4 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ercgrg.p
Assertion
Ref Expression
ercgrg TarskiG cgrG

Proof of Theorem ercgrg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cgrg 24635 . . . 4 cgrG
21relmptopab 6536 . . 3 cgrG
32a1i 11 . 2 TarskiG cgrG
4 ercgrg.p . . . . . . 7
5 eqid 2471 . . . . . . 7
6 eqid 2471 . . . . . . 7 cgrG cgrG
74, 5, 6iscgrg 24636 . . . . . 6 TarskiG cgrG
87biimpa 492 . . . . 5 TarskiG cgrG
98simpld 466 . . . 4 TarskiG cgrG
109ancomd 458 . . 3 TarskiG cgrG
118simprd 470 . . . . . 6 TarskiG cgrG
1211simpld 466 . . . . 5 TarskiG cgrG
1312eqcomd 2477 . . . 4 TarskiG cgrG
14 simpl 464 . . . . . . 7 TarskiG cgrG TarskiG cgrG
15 simprl 772 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG
1612adantr 472 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG
1715, 16eleqtrrd 2552 . . . . . . 7 TarskiG cgrG
18 simprr 774 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG
1918, 16eleqtrrd 2552 . . . . . . 7 TarskiG cgrG
2011simprd 470 . . . . . . . . 9 TarskiG cgrG
2120r19.21bi 2776 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG
2221r19.21bi 2776 . . . . . . 7 TarskiG cgrG
2314, 17, 19, 22syl21anc 1291 . . . . . 6 TarskiG cgrG
2423eqcomd 2477 . . . . 5 TarskiG cgrG
2524ralrimivva 2814 . . . 4 TarskiG cgrG
2613, 25jca 541 . . 3 TarskiG cgrG
274, 5, 6iscgrg 24636 . . . 4 TarskiG cgrG
2827adantr 472 . . 3 TarskiG cgrG cgrG
2910, 26, 28mpbir2and 936 . 2 TarskiG cgrG cgrG
309simpld 466 . . . . 5 TarskiG cgrG
3130adantrr 731 . . . 4 TarskiG cgrG cgrG
324, 5, 6iscgrg 24636 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG
3332biimpa 492 . . . . . . 7 TarskiG cgrG
3433adantrl 730 . . . . . 6 TarskiG cgrG cgrG
3534simpld 466 . . . . 5 TarskiG cgrG cgrG
3635simprd 470 . . . 4 TarskiG cgrG cgrG
3731, 36jca 541 . . 3 TarskiG cgrG cgrG
388adantrr 731 . . . . . . 7 TarskiG cgrG cgrG
3938simprd 470 . . . . . 6 TarskiG cgrG cgrG
4039simpld 466 . . . . 5 TarskiG cgrG cgrG
4134simprd 470 . . . . . 6 TarskiG cgrG cgrG
4241simpld 466 . . . . 5 TarskiG cgrG cgrG
4340, 42eqtrd 2505 . . . 4 TarskiG cgrG cgrG
4439simprd 470 . . . . . . . . 9 TarskiG cgrG cgrG
4544r19.21bi 2776 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG cgrG
4645r19.21bi 2776 . . . . . . 7 TarskiG cgrG cgrG
4746anasss 659 . . . . . 6 TarskiG cgrG cgrG
48 simpl 464 . . . . . . 7 TarskiG cgrG cgrG TarskiG cgrG cgrG
49 simprl 772 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG cgrG
5040adantr 472 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG cgrG
5149, 50eleqtrd 2551 . . . . . . 7 TarskiG cgrG cgrG
52 simprr 774 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG cgrG
5352, 50eleqtrd 2551 . . . . . . 7 TarskiG cgrG cgrG
5441simprd 470 . . . . . . . . 9 TarskiG cgrG cgrG
5554r19.21bi 2776 . . . . . . . 8 TarskiG cgrG cgrG
5655r19.21bi 2776 . . . . . . 7 TarskiG cgrG cgrG
5748, 51, 53, 56syl21anc 1291 . . . . . 6 TarskiG cgrG cgrG
5847, 57eqtrd 2505 . . . . 5 TarskiG cgrG cgrG
5958ralrimivva 2814 . . . 4 TarskiG cgrG cgrG
6043, 59jca 541 . . 3 TarskiG cgrG cgrG
614, 5, 6iscgrg 24636 . . . 4 TarskiG cgrG
6261adantr 472 . . 3 TarskiG cgrG cgrG cgrG
6337, 60, 62mpbir2and 936 . 2 TarskiG cgrG cgrG cgrG
644, 5, 6iscgrg 24636 . . 3 TarskiG cgrG
65 pm4.24 655 . . . 4
66 eqid 2471 . . . . . 6
67 eqidd 2472 . . . . . . 7
6867rgen2a 2820 . . . . . 6
6966, 68pm3.2i 462 . . . . 5
7069biantru 513 . . . 4
7165, 70bitri 257 . . 3
7264, 71syl6rbbr 272 . 2 TarskiG cgrG
733, 29, 63, 72iserd 7407 1 TarskiG cgrG
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   class class class wbr 4395   cdm 4839   wrel 4844  cfv 5589  (class class class)co 6308   wer 7378   cpm 7491  cr 9556  cbs 15199  cds 15277  TarskiGcstrkg 24557  cgrGccgrg 24634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-ov 6311  df-er 7381  df-cgrg 24635 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator