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Theorem ercgrg 23773
Description: The shape congruence relation is an equivalence relation. Statement 4.4 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ercgrg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
ercgrg  |-  ( G  e. TarskiG  ->  (cgrG `  G
)  Er  ( P 
^pm  RR ) )

Proof of Theorem ercgrg
Dummy variables  a 
b  g  i  j  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cgrg 23768 . . . 4  |- cgrG  =  ( g  e.  _V  |->  {
<. a ,  b >.  |  ( ( a  e.  ( ( Base `  g )  ^pm  RR )  /\  b  e.  ( ( Base `  g
)  ^pm  RR )
)  /\  ( dom  a  =  dom  b  /\  A. i  e.  dom  a A. j  e.  dom  a ( ( a `
 i ) (
dist `  g )
( a `  j
) )  =  ( ( b `  i
) ( dist `  g
) ( b `  j ) ) ) ) } )
21relmptopab 6504 . . 3  |-  Rel  (cgrG `  G )
32a1i 11 . 2  |-  ( G  e. TarskiG  ->  Rel  (cgrG `  G
) )
4 ercgrg.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  G
)
5 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
6 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
74, 5, 6iscgrg 23769 . . . . . 6  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( x (cgrG `  G ) y  <->  ( (
x  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  y  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  x  =  dom  y  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) ) ) ) ) )
87biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  (
( x  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  y  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  x  =  dom  y  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( y `  i ) ( dist `  G ) ( y `
 j ) ) ) ) )
98simpld 459 . . . 4  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  (
x  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  y  e.  ( P  ^pm  RR ) ) )
109ancomd 451 . . 3  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  (
y  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) ) )
118simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  ( dom  x  =  dom  y  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) ) ) )
1211simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  dom  x  =  dom  y )
1312eqcomd 2449 . . . 4  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  dom  y  =  dom  x )
14 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  -> 
( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y ) )
15 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  -> 
i  e.  dom  y
)
1612adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  ->  dom  x  =  dom  y
)
1715, 16eleqtrrd 2532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  -> 
i  e.  dom  x
)
18 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  -> 
j  e.  dom  y
)
1918, 16eleqtrrd 2532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  -> 
j  e.  dom  x
)
2011simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `  i ) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( y `  i ) ( dist `  G ) ( y `
 j ) ) )
2120r19.21bi 2810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  i  e.  dom  x )  ->  A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) ) )
2221r19.21bi 2810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x (cgrG `  G
) y )  /\  i  e.  dom  x )  /\  j  e.  dom  x )  ->  (
( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( y `  i ) ( dist `  G ) ( y `
 j ) ) )
2314, 17, 19, 22syl21anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  -> 
( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) )  =  ( ( y `
 i ) (
dist `  G )
( y `  j
) ) )
2423eqcomd 2449 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  -> 
( ( y `  i ) ( dist `  G ) ( y `
 j ) )  =  ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) ) )
2524ralrimivva 2862 . . . 4  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  A. i  e.  dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i ) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) ) )
2613, 25jca 532 . . 3  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  ( dom  y  =  dom  x  /\  A. i  e. 
dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i ) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) ) ) )
274, 5, 6iscgrg 23769 . . . 4  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( y (cgrG `  G ) x  <->  ( (
y  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  y  =  dom  x  /\  A. i  e. 
dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i ) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) ) ) ) ) )
2827adantr 465 . . 3  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  (
y (cgrG `  G
) x  <->  ( (
y  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  y  =  dom  x  /\  A. i  e. 
dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i ) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) ) ) ) ) )
2910, 26, 28mpbir2and 920 . 2  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  y
(cgrG `  G )
x )
309simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )
3130adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )
324, 5, 6iscgrg 23769 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( y (cgrG `  G ) z  <->  ( (
y  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  y  =  dom  z  /\  A. i  e. 
dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i ) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( z `  i ) ( dist `  G ) ( z `
 j ) ) ) ) ) )
3332biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  y
(cgrG `  G )
z )  ->  (
( y  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  y  =  dom  z  /\  A. i  e.  dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( z `  i ) ( dist `  G ) ( z `
 j ) ) ) ) )
3433adantrl 715 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( ( y  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR )
)  /\  ( dom  y  =  dom  z  /\  A. i  e.  dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `
 i ) (
dist `  G )
( y `  j
) )  =  ( ( z `  i
) ( dist `  G
) ( z `  j ) ) ) ) )
3534simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( y  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR ) ) )
3635simprd 463 . . . 4  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
z  e.  ( P 
^pm  RR ) )
3731, 36jca 532 . . 3  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( x  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR ) ) )
388adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( ( x  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  y  e.  ( P  ^pm  RR )
)  /\  ( dom  x  =  dom  y  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) ) ) ) )
3938simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( dom  x  =  dom  y  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `  i ) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( y `  i ) ( dist `  G ) ( y `
 j ) ) ) )
4039simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  dom  x  =  dom  y
)
4134simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( dom  y  =  dom  z  /\  A. i  e.  dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i ) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( z `  i ) ( dist `  G ) ( z `
 j ) ) ) )
4241simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  dom  y  =  dom  z )
4340, 42eqtrd 2482 . . . 4  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  dom  x  =  dom  z
)
4439simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) ) )
4544r19.21bi 2810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  i  e.  dom  x )  ->  A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) ) )
4645r19.21bi 2810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. TarskiG  /\  ( x (cgrG `  G ) y  /\  y (cgrG `  G )
z ) )  /\  i  e.  dom  x )  /\  j  e.  dom  x )  ->  (
( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( y `  i ) ( dist `  G ) ( y `
 j ) ) )
4746anasss 647 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) )  =  ( ( y `
 i ) (
dist `  G )
( y `  j
) ) )
48 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) ) )
49 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
i  e.  dom  x
)
5040adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  ->  dom  x  =  dom  y
)
5149, 50eleqtrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
i  e.  dom  y
)
52 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
j  e.  dom  x
)
5352, 50eleqtrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
j  e.  dom  y
)
5441simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  A. i  e.  dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `
 i ) (
dist `  G )
( y `  j
) )  =  ( ( z `  i
) ( dist `  G
) ( z `  j ) ) )
5554r19.21bi 2810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  i  e.  dom  y )  ->  A. j  e.  dom  y ( ( y `
 i ) (
dist `  G )
( y `  j
) )  =  ( ( z `  i
) ( dist `  G
) ( z `  j ) ) )
5655r19.21bi 2810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. TarskiG  /\  ( x (cgrG `  G ) y  /\  y (cgrG `  G )
z ) )  /\  i  e.  dom  y )  /\  j  e.  dom  y )  ->  (
( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( z `  i ) ( dist `  G ) ( z `
 j ) ) )
5748, 51, 53, 56syl21anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
( ( y `  i ) ( dist `  G ) ( y `
 j ) )  =  ( ( z `
 i ) (
dist `  G )
( z `  j
) ) )
5847, 57eqtrd 2482 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) )  =  ( ( z `
 i ) (
dist `  G )
( z `  j
) ) )
5958ralrimivva 2862 . . . 4  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( z `  i
) ( dist `  G
) ( z `  j ) ) )
6043, 59jca 532 . . 3  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( dom  x  =  dom  z  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `  i ) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( z `  i ) ( dist `  G ) ( z `
 j ) ) ) )
614, 5, 6iscgrg 23769 . . . 4  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( x (cgrG `  G ) z  <->  ( (
x  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  x  =  dom  z  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( z `  i
) ( dist `  G
) ( z `  j ) ) ) ) ) )
6261adantr 465 . . 3  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( x (cgrG `  G ) z  <->  ( (
x  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  x  =  dom  z  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( z `  i
) ( dist `  G
) ( z `  j ) ) ) ) ) )
6337, 60, 62mpbir2and 920 . 2  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  x (cgrG `  G )
z )
644, 5, 6iscgrg 23769 . . 3  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( x (cgrG `  G ) x  <->  ( (
x  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  x  =  dom  x  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) ) ) ) ) )
65 pm4.24 643 . . . 4  |-  ( x  e.  ( P  ^pm  RR )  <->  ( x  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR )
) )
66 eqid 2441 . . . . . 6  |-  dom  x  =  dom  x
67 eqidd 2442 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x )  ->  (
( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) ) )
6867rgen2a 2868 . . . . . 6  |-  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `  i ) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) )
6966, 68pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( dom  x  =  dom  x  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) ) )
7069biantru 505 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )  <->  ( (
x  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  x  =  dom  x  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) ) ) ) )
7165, 70bitri 249 . . 3  |-  ( x  e.  ( P  ^pm  RR )  <->  ( ( x  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  x  =  dom  x  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) ) ) ) )
7264, 71syl6rbbr 264 . 2  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( x  e.  ( P  ^pm  RR ) 
<->  x (cgrG `  G
) x ) )
733, 29, 63, 72iserd 7335 1  |-  ( G  e. TarskiG  ->  (cgrG `  G
)  Er  ( P 
^pm  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   _Vcvv 3093   class class class wbr 4433   dom cdm 4985   Rel wrel 4990   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    Er wer 7306    ^pm cpm 7419   RRcr 9489   Basecbs 14504   distcds 14578  TarskiGcstrkg 23690  cgrGccgrg 23767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fv 5582  df-ov 6280  df-er 7309  df-cgrg 23768
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