Theorem ercgrg 24112

Description: The shape congruence relation is an equivalence relation. Statement 4.4 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ercgrg.p	|- P = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
ercgrg	|- ( G e. TarskiG -> (cgrG ` G ) Er ( P ^pm RR ) )

Proof of Theorem ercgrg

Dummy variables a b g i j x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cgrg 24107	. . . 4 |- cgrG = ( g e. _V |-> { <. a , b >. | ( ( a e. ( ( Base ` g ) ^pm RR ) /\ b e. ( ( Base ` g ) ^pm RR ) ) /\ ( dom a = dom b /\ A. i e. dom a A. j e. dom a ( ( a ` i ) ( dist ` g ) ( a ` j ) ) = ( ( b ` i ) ( dist ` g ) ( b ` j ) ) ) ) } )
2	1	relmptopab 6496	. . 3 |- Rel (cgrG ` G )
3	2	a1i 11	. 2 |- ( G e. TarskiG -> Rel (cgrG ` G ) )
4		ercgrg.p	. . . . . . 7 |- P = ( Base ` G )
5		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( dist ` G ) = ( dist ` G )
6		eqid 2454	. . . . . . 7 |- (cgrG ` G ) = (cgrG ` G )
7	4, 5, 6	iscgrg 24108	. . . . . 6 |- ( G e. TarskiG -> ( x (cgrG ` G ) y <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ y e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) ) ) )
8	7	biimpa 482	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ y e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) ) )
9	8	simpld 457	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( x e. ( P ^pm RR ) /\ y e. ( P ^pm RR ) ) )
10	9	ancomd 449	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( y e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) )
11	8	simprd 461	. . . . . 6 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) )
12	11	simpld 457	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> dom x = dom y )
13	12	eqcomd 2462	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> dom y = dom x )
14		simpl 455	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) )
15		simprl 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> i e. dom y )
16	12	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> dom x = dom y )
17	15, 16	eleqtrrd 2545	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> i e. dom x )
18		simprr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> j e. dom y )
19	18, 16	eleqtrrd 2545	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> j e. dom x )
20	11	simprd 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
21	20	r19.21bi 2823	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ i e. dom x ) -> A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
22	21	r19.21bi 2823	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ i e. dom x ) /\ j e. dom x ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
23	14, 17, 19, 22	syl21anc 1225	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
24	23	eqcomd 2462	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) /\ ( i e. dom y /\ j e. dom y ) ) -> ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) )
25	24	ralrimivva 2875	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) )
26	13, 25	jca 530	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( dom y = dom x /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) )
27	4, 5, 6	iscgrg 24108	. . . 4 |- ( G e. TarskiG -> ( y (cgrG ` G ) x <-> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom x /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) ) )
28	27	adantr 463	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> ( y (cgrG ` G ) x <-> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom x /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) ) )
29	10, 26, 28	mpbir2and 920	. 2 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> y (cgrG ` G ) x )
30	9	simpld 457	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ x (cgrG ` G ) y ) -> x e. ( P ^pm RR ) )
31	30	adantrr 714	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> x e. ( P ^pm RR ) )
32	4, 5, 6	iscgrg 24108	. . . . . . . 8 |- ( G e. TarskiG -> ( y (cgrG ` G ) z <-> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom z /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) ) )
33	32	biimpa 482	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TarskiG /\ y (cgrG ` G ) z ) -> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom z /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) )
34	33	adantrl 713	. . . . . 6 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( ( y e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom y = dom z /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) )
35	34	simpld 457	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( y e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) )
36	35	simprd 461	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> z e. ( P ^pm RR ) )
37	31, 36	jca 530	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( x e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) )
38	8	adantrr 714	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ y e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) ) )
39	38	simprd 461	. . . . . 6 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( dom x = dom y /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) ) )
40	39	simpld 457	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> dom x = dom y )
41	34	simprd 461	. . . . . 6 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( dom y = dom z /\ A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) )
42	41	simpld 457	. . . . 5 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> dom y = dom z )
43	40, 42	eqtrd 2495	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> dom x = dom z )
44	39	simprd 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
45	44	r19.21bi 2823	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ i e. dom x ) -> A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
46	45	r19.21bi 2823	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ i e. dom x ) /\ j e. dom x ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
47	46	anasss 645	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) )
48		simpl 455	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) )
49		simprl 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> i e. dom x )
50	40	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> dom x = dom y )
51	49, 50	eleqtrd 2544	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> i e. dom y )
52		simprr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> j e. dom x )
53	52, 50	eleqtrd 2544	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> j e. dom y )
54	41	simprd 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> A. i e. dom y A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
55	54	r19.21bi 2823	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ i e. dom y ) -> A. j e. dom y ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
56	55	r19.21bi 2823	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ i e. dom y ) /\ j e. dom y ) -> ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
57	48, 51, 53, 56	syl21anc 1225	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> ( ( y ` i ) ( dist ` G ) ( y ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
58	47, 57	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) /\ ( i e. dom x /\ j e. dom x ) ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
59	58	ralrimivva 2875	. . . 4 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) )
60	43, 59	jca 530	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( dom x = dom z /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) )
61	4, 5, 6	iscgrg 24108	. . . 4 |- ( G e. TarskiG -> ( x (cgrG ` G ) z <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom z /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) ) )
62	61	adantr 463	. . 3 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> ( x (cgrG ` G ) z <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ z e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom z /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( z ` i ) ( dist ` G ) ( z ` j ) ) ) ) ) )
63	37, 60, 62	mpbir2and 920	. 2 |- ( ( G e. TarskiG /\ ( x (cgrG ` G ) y /\ y (cgrG ` G ) z ) ) -> x (cgrG ` G ) z )
64	4, 5, 6	iscgrg 24108	. . 3 |- ( G e. TarskiG -> ( x (cgrG ` G ) x <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom x /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) ) )
65		pm4.24 641	. . . 4 |- ( x e. ( P ^pm RR ) <-> ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) )
66		eqid 2454	. . . . . 6 |- dom x = dom x
67		eqidd 2455	. . . . . . 7 |- ( ( i e. dom x /\ j e. dom x ) -> ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) )
68	67	rgen2a 2881	. . . . . 6 |- A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) )
69	66, 68	pm3.2i 453	. . . . 5 |- ( dom x = dom x /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) )
70	69	biantru 503	. . . 4 |- ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom x /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) )
71	65, 70	bitri 249	. . 3 |- ( x e. ( P ^pm RR ) <-> ( ( x e. ( P ^pm RR ) /\ x e. ( P ^pm RR ) ) /\ ( dom x = dom x /\ A. i e. dom x A. j e. dom x ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) = ( ( x ` i ) ( dist ` G ) ( x ` j ) ) ) ) )
72	64, 71	syl6rbbr 264	. 2 |- ( G e. TarskiG -> ( x e. ( P ^pm RR ) <-> x (cgrG ` G ) x ) )
73	3, 29, 63, 72	iserd 7329	1 |- ( G e. TarskiG -> (cgrG ` G ) Er ( P ^pm RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439   dom cdm 4988   Rel wrel 4993   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Er wer 7300   ^pm cpm 7413   RRcr 9480   Basecbs 14719   distcds 14796  TarskiGcstrkg 24026  cgrGccgrg 24106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-ov 6273  df-er 7303  df-cgrg 24107

This theorem is referenced by: (None)