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Theorem ercgrg 23100
Description: The shape congruence relation is an equivalence relation. Statement 4.4 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ercgrg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
ercgrg  |-  ( G  e. TarskiG  ->  (cgrG `  G
)  Er  ( P 
^pm  RR ) )

Proof of Theorem ercgrg
Dummy variables  a 
b  g  i  j  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cgrg 23095 . . . 4  |- cgrG  =  ( g  e.  _V  |->  {
<. a ,  b >.  |  ( ( a  e.  ( ( Base `  g )  ^pm  RR )  /\  b  e.  ( ( Base `  g
)  ^pm  RR )
)  /\  ( dom  a  =  dom  b  /\  A. i  e.  dom  a A. j  e.  dom  a ( ( a `
 i ) (
dist `  g )
( a `  j
) )  =  ( ( b `  i
) ( dist `  g
) ( b `  j ) ) ) ) } )
21relmptopab 6413 . . 3  |-  Rel  (cgrG `  G )
32a1i 11 . 2  |-  ( G  e. TarskiG  ->  Rel  (cgrG `  G
) )
4 ercgrg.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  G
)
5 eqid 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
6 eqid 2452 . . . . . . . . 9  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
74, 5, 6iscgrg 23096 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( x (cgrG `  G ) y  <->  ( (
x  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  y  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  x  =  dom  y  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) ) ) ) ) )
87biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  (
( x  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  y  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  x  =  dom  y  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( y `  i ) ( dist `  G ) ( y `
 j ) ) ) ) )
98simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  (
x  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  y  e.  ( P  ^pm  RR ) ) )
109simprd 463 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  y  e.  ( P  ^pm  RR ) )
119simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )
1210, 11jca 532 . . . 4  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  (
y  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) ) )
138simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  ( dom  x  =  dom  y  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) ) ) )
1413simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  dom  x  =  dom  y )
1514eqcomd 2460 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  dom  y  =  dom  x )
16 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  -> 
( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y ) )
17 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  -> 
i  e.  dom  y
)
1816, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  ->  dom  x  =  dom  y
)
1917, 18eleqtrrd 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  -> 
i  e.  dom  x
)
20 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  -> 
j  e.  dom  y
)
2120, 18eleqtrrd 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  -> 
j  e.  dom  x
)
2213simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `  i ) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( y `  i ) ( dist `  G ) ( y `
 j ) ) )
2322r19.21bi 2914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  i  e.  dom  x )  ->  A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) ) )
2423r19.21bi 2914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x (cgrG `  G
) y )  /\  i  e.  dom  x )  /\  j  e.  dom  x )  ->  (
( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( y `  i ) ( dist `  G ) ( y `
 j ) ) )
2516, 19, 21, 24syl21anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  -> 
( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) )  =  ( ( y `
 i ) (
dist `  G )
( y `  j
) ) )
2625eqcomd 2460 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  /\  (
i  e.  dom  y  /\  j  e.  dom  y ) )  -> 
( ( y `  i ) ( dist `  G ) ( y `
 j ) )  =  ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) ) )
2726ralrimivva 2908 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  A. i  e.  dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i ) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) ) )
2815, 27jca 532 . . . 4  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  ( dom  y  =  dom  x  /\  A. i  e. 
dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i ) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) ) ) )
2912, 28jca 532 . . 3  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  (
( y  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  y  =  dom  x  /\  A. i  e.  dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) ) ) ) )
304, 5, 6iscgrg 23096 . . . 4  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( y (cgrG `  G ) x  <->  ( (
y  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  y  =  dom  x  /\  A. i  e. 
dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i ) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) ) ) ) ) )
3130adantr 465 . . 3  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  (
y (cgrG `  G
) x  <->  ( (
y  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  y  =  dom  x  /\  A. i  e. 
dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i ) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) ) ) ) ) )
3229, 31mpbird 232 . 2  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  x
(cgrG `  G )
y )  ->  y
(cgrG `  G )
x )
3311adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )
344, 5, 6iscgrg 23096 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( y (cgrG `  G ) z  <->  ( (
y  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  y  =  dom  z  /\  A. i  e. 
dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i ) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( z `  i ) ( dist `  G ) ( z `
 j ) ) ) ) ) )
3534biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  y
(cgrG `  G )
z )  ->  (
( y  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  y  =  dom  z  /\  A. i  e.  dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( z `  i ) ( dist `  G ) ( z `
 j ) ) ) ) )
3635adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( ( y  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR )
)  /\  ( dom  y  =  dom  z  /\  A. i  e.  dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `
 i ) (
dist `  G )
( y `  j
) )  =  ( ( z `  i
) ( dist `  G
) ( z `  j ) ) ) ) )
3736simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( y  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR ) ) )
3837simprd 463 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
z  e.  ( P 
^pm  RR ) )
3933, 38jca 532 . . . 4  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( x  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR ) ) )
408adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( ( x  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  y  e.  ( P  ^pm  RR )
)  /\  ( dom  x  =  dom  y  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) ) ) ) )
4140simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( dom  x  =  dom  y  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `  i ) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( y `  i ) ( dist `  G ) ( y `
 j ) ) ) )
4241simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  dom  x  =  dom  y
)
4336simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( dom  y  =  dom  z  /\  A. i  e.  dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `  i ) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( z `  i ) ( dist `  G ) ( z `
 j ) ) ) )
4443simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  dom  y  =  dom  z )
4542, 44eqtrd 2493 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  dom  x  =  dom  z
)
4641simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) ) )
4746r19.21bi 2914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  i  e.  dom  x )  ->  A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) ) )
4847r19.21bi 2914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. TarskiG  /\  ( x (cgrG `  G ) y  /\  y (cgrG `  G )
z ) )  /\  i  e.  dom  x )  /\  j  e.  dom  x )  ->  (
( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( y `  i ) ( dist `  G ) ( y `
 j ) ) )
4948anasss 647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) )  =  ( ( y `
 i ) (
dist `  G )
( y `  j
) ) )
50 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) ) )
51 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
i  e.  dom  x
)
5250, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  ->  dom  x  =  dom  y
)
5351, 52eleqtrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
i  e.  dom  y
)
54 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
j  e.  dom  x
)
5554, 52eleqtrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
j  e.  dom  y
)
5643simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  A. i  e.  dom  y A. j  e.  dom  y ( ( y `
 i ) (
dist `  G )
( y `  j
) )  =  ( ( z `  i
) ( dist `  G
) ( z `  j ) ) )
5756r19.21bi 2914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  i  e.  dom  y )  ->  A. j  e.  dom  y ( ( y `
 i ) (
dist `  G )
( y `  j
) )  =  ( ( z `  i
) ( dist `  G
) ( z `  j ) ) )
5857r19.21bi 2914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. TarskiG  /\  ( x (cgrG `  G ) y  /\  y (cgrG `  G )
z ) )  /\  i  e.  dom  y )  /\  j  e.  dom  y )  ->  (
( y `  i
) ( dist `  G
) ( y `  j ) )  =  ( ( z `  i ) ( dist `  G ) ( z `
 j ) ) )
5950, 53, 55, 58syl21anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
( ( y `  i ) ( dist `  G ) ( y `
 j ) )  =  ( ( z `
 i ) (
dist `  G )
( z `  j
) ) )
6049, 59eqtrd 2493 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  /\  ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x ) )  -> 
( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) )  =  ( ( z `
 i ) (
dist `  G )
( z `  j
) ) )
6160ralrimivva 2908 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( z `  i
) ( dist `  G
) ( z `  j ) ) )
6245, 61jca 532 . . . 4  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( dom  x  =  dom  z  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `  i ) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( z `  i ) ( dist `  G ) ( z `
 j ) ) ) )
6339, 62jca 532 . . 3  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( ( x  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR )
)  /\  ( dom  x  =  dom  z  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( z `  i
) ( dist `  G
) ( z `  j ) ) ) ) )
644, 5, 6iscgrg 23096 . . . 4  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( x (cgrG `  G ) z  <->  ( (
x  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  x  =  dom  z  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( z `  i
) ( dist `  G
) ( z `  j ) ) ) ) ) )
6564adantr 465 . . 3  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  -> 
( x (cgrG `  G ) z  <->  ( (
x  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  z  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  x  =  dom  z  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( z `  i
) ( dist `  G
) ( z `  j ) ) ) ) ) )
6663, 65mpbird 232 . 2  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  (
x (cgrG `  G
) y  /\  y
(cgrG `  G )
z ) )  ->  x (cgrG `  G )
z )
674, 5, 6iscgrg 23096 . . 3  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( x (cgrG `  G ) x  <->  ( (
x  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  x  =  dom  x  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) ) ) ) ) )
68 pm4.24 643 . . . 4  |-  ( x  e.  ( P  ^pm  RR )  <->  ( x  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR )
) )
69 eqid 2452 . . . . . 6  |-  dom  x  =  dom  x
70 eqidd 2453 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  dom  x  /\  j  e.  dom  x )  ->  (
( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) ) )
7170rgen2 2912 . . . . . 6  |-  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `  i ) ( dist `  G
) ( x `  j ) )  =  ( ( x `  i ) ( dist `  G ) ( x `
 j ) )
7269, 71pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( dom  x  =  dom  x  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) ) )
7372biantru 505 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )  <->  ( (
x  e.  ( P 
^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  x  =  dom  x  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) ) ) ) )
7468, 73bitri 249 . . 3  |-  ( x  e.  ( P  ^pm  RR )  <->  ( ( x  e.  ( P  ^pm  RR )  /\  x  e.  ( P  ^pm  RR ) )  /\  ( dom  x  =  dom  x  /\  A. i  e.  dom  x A. j  e.  dom  x ( ( x `
 i ) (
dist `  G )
( x `  j
) )  =  ( ( x `  i
) ( dist `  G
) ( x `  j ) ) ) ) )
7567, 74syl6rbbr 264 . 2  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( x  e.  ( P  ^pm  RR ) 
<->  x (cgrG `  G
) x ) )
763, 32, 66, 75iserd 7232 1  |-  ( G  e. TarskiG  ->  (cgrG `  G
)  Er  ( P 
^pm  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   _Vcvv 3072   class class class wbr 4395   dom cdm 4943   Rel wrel 4948   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    Er wer 7203    ^pm cpm 7320   RRcr 9387   Basecbs 14287   distcds 14361  TarskiGcstrkg 23017  cgrGccgrg 23094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fv 5529  df-ov 6198  df-er 7206  df-cgrg 23095
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