Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  equivcau Structured version   Unicode version

Theorem equivcau 20927
 Description: If the metric is "strongly finer" than (meaning that there is a positive real constant such that ), all the -Cauchy sequences are also -Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1
equivcau.2
equivcau.3
equivcau.4
Assertion
Ref Expression
equivcau
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem equivcau
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . 7
2 equivcau.3 . . . . . . . 8
32ad2antrr 725 . . . . . . 7
41, 3rpdivcld 11145 . . . . . 6
5 oveq2 6198 . . . . . . . . 9
6 feq3 5642 . . . . . . . . 9
75, 6syl 16 . . . . . . . 8
87rexbidv 2844 . . . . . . 7
98rspcv 3165 . . . . . 6
104, 9syl 16 . . . . 5
11 simprr 756 . . . . . . . 8
12 elpmi 7331 . . . . . . . . . . . 12
1312simpld 459 . . . . . . . . . . 11
1413ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10
15 resss 5232 . . . . . . . . . . . 12
16 dmss 5137 . . . . . . . . . . . 12
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
18 uzid 10976 . . . . . . . . . . . . 13
1918ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
20 fdm 5661 . . . . . . . . . . . . 13
2120ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12
2219, 21eleqtrrd 2542 . . . . . . . . . . 11
2317, 22sseldi 3452 . . . . . . . . . 10
2414, 23ffvelrnd 5943 . . . . . . . . 9
25 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13
26 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13
27 equivcau.1 . . . . . . . . . . . . 13
28 equivcau.2 . . . . . . . . . . . . 13
29 equivcau.4 . . . . . . . . . . . . 13
3025, 26, 27, 28, 2, 29metss2lem 20202 . . . . . . . . . . . 12
3130expr 615 . . . . . . . . . . 11
3231ralrimiva 2822 . . . . . . . . . 10
3332ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9
34 simplr 754 . . . . . . . . 9
35 oveq1 6197 . . . . . . . . . . . 12
36 oveq1 6197 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36sseq12d 3483 . . . . . . . . . . 11
3837imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
3938rspcv 3165 . . . . . . . . 9
4024, 33, 34, 39syl3c 61 . . . . . . . 8
41 fss 5665 . . . . . . . 8
4211, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . 7
4342expr 615 . . . . . 6
4443reximdva 2924 . . . . 5
4510, 44syld 44 . . . 4
4645ralrimdva 2902 . . 3
4746ss2rabdv 3531 . 2
48 metxmet 20025 . . 3
49 caufval 20902 . . 3
5028, 48, 493syl 20 . 2
51 metxmet 20025 . . 3
52 caufval 20902 . . 3
5327, 51, 523syl 20 . 2
5447, 50, 533sstr4d 3497 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  wral 2795  wrex 2796  crab 2799   wss 3426   class class class wbr 4390   cdm 4938   cres 4940  wf 5512  cfv 5516  (class class class)co 6190   cpm 7315  cc 9381   cmul 9388   cle 9520   cdiv 10094  cz 10747  cuz 10962  crp 11092  cxmt 17910  cme 17911  cbl 17912  cmopn 17915  cca 20880 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-z 10748  df-uz 10963  df-rp 11093  df-xadd 11191  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-cau 20883 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator