Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  equivcau Structured version   Unicode version

Theorem equivcau 22212
 Description: If the metric is "strongly finer" than (meaning that there is a positive real constant such that ), all the -Cauchy sequences are also -Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1
equivcau.2
equivcau.3
equivcau.4
Assertion
Ref Expression
equivcau
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem equivcau
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . . . 7
2 equivcau.3 . . . . . . . 8
32ad2antrr 730 . . . . . . 7
41, 3rpdivcld 11309 . . . . . 6
5 oveq2 6257 . . . . . . . . 9
65feq3d 5677 . . . . . . . 8
76rexbidv 2878 . . . . . . 7
87rspcv 3121 . . . . . 6
94, 8syl 17 . . . . 5
10 simprr 764 . . . . . . . 8
11 elpmi 7445 . . . . . . . . . . . 12
1211simpld 460 . . . . . . . . . . 11
1312ad3antlr 735 . . . . . . . . . 10
14 resss 5090 . . . . . . . . . . . 12
15 dmss 4996 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
17 uzid 11124 . . . . . . . . . . . . 13
1817ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12
19 fdm 5693 . . . . . . . . . . . . 13
2019ad2antll 733 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20eleqtrrd 2509 . . . . . . . . . . 11
2216, 21sseldi 3405 . . . . . . . . . 10
2313, 22ffvelrnd 5982 . . . . . . . . 9
24 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13
25 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13
26 equivcau.1 . . . . . . . . . . . . 13
27 equivcau.2 . . . . . . . . . . . . 13
28 equivcau.4 . . . . . . . . . . . . 13
2924, 25, 26, 27, 2, 28metss2lem 21468 . . . . . . . . . . . 12
3029expr 618 . . . . . . . . . . 11
3130ralrimiva 2779 . . . . . . . . . 10
3231ad3antrrr 734 . . . . . . . . 9
33 simplr 760 . . . . . . . . 9
34 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . 12
35 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . 12
3634, 35sseq12d 3436 . . . . . . . . . . 11
3736imbi2d 317 . . . . . . . . . 10
3837rspcv 3121 . . . . . . . . 9
3923, 32, 33, 38syl3c 63 . . . . . . . 8
4010, 39fssd 5698 . . . . . . 7
4140expr 618 . . . . . 6
4241reximdva 2839 . . . . 5
439, 42syld 45 . . . 4
4443ralrimdva 2783 . . 3
4544ss2rabdv 3485 . 2
46 metxmet 21291 . . 3
47 caufval 22187 . . 3
4827, 46, 473syl 18 . 2
49 metxmet 21291 . . 3
50 caufval 22187 . . 3
5126, 49, 503syl 18 . 2
5245, 48, 513sstr4d 3450 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wral 2714  wrex 2715  crab 2718   wss 3379   class class class wbr 4366   cdm 4796   cres 4798  wf 5540  cfv 5544  (class class class)co 6249   cpm 7428  cc 9488   cmul 9495   cle 9627   cdiv 10220  cz 10888  cuz 11110  crp 11253  cxmt 18898  cme 18899  cbl 18900  cmopn 18903  cca 22165 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-xadd 11361  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-cau 22168 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator