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Theorem equivcau 20927
Description: If the metric  D is "strongly finer" than  C (meaning that there is a positive real constant 
R such that  C ( x ,  y )  <_  R  x.  D (
x ,  y )), all the  D-Cauchy sequences are also  C-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
equivcau.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
equivcau.3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
equivcau.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  <_  ( R  x.  ( x D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
equivcau  |-  ( ph  ->  ( Cau `  D
)  C_  ( Cau `  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, D, y    ph, x, y    x, R, y    x, X, y

Proof of Theorem equivcau
Dummy variables  f 
k  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
2 equivcau.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  R  e.  RR+ )
41, 3rpdivcld 11145 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
r  /  R )  e.  RR+ )
5 oveq2 6198 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( r  /  R )  ->  (
( f `  k
) ( ball `  D
) s )  =  ( ( f `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) )
6 feq3 5642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f `  k
) ( ball `  D
) s )  =  ( ( f `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  R ) )  ->  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s )  <->  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) ( r  /  R ) ) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( r  /  R )  ->  (
( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
s )  <->  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) ( r  /  R ) ) ) )
87rexbidv 2844 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( r  /  R )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
s )  <->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) ( r  /  R ) ) ) )
98rspcv 3165 . . . . . 6  |-  ( ( r  /  R )  e.  RR+  ->  ( A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s )  ->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )
104, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s )  ->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )
11 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) ( r  /  R ) ) )
12 elpmi 7331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  ->  ( f : dom  f --> X  /\  dom  f  C_  CC ) )
1312simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  ->  f : dom  f --> X )
1413ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  f : dom  f
--> X )
15 resss 5232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
)  C_  f
16 dmss 5137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  k ) )  C_  f  ->  dom  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
)  C_  dom  f )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
f  |`  ( ZZ>= `  k
) )  C_  dom  f
18 uzid 10976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  ( ZZ>= `  k )
)
1918ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  k ) )
20 fdm 5661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  k ) ) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  R ) )  ->  dom  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( ZZ>= `  k ) )
2120ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  dom  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( ZZ>= `  k ) )
2219, 21eleqtrrd 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  k  e.  dom  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) )
2317, 22sseldi 3452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  k  e.  dom  f )
2414, 23ffvelrnd 5943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  ( f `  k )  e.  X
)
25 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  C )  =  (
MetOpen `  C )
26 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
27 equivcau.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
28 equivcau.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
29 equivcau.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  <_  ( R  x.  ( x D y ) ) )
3025, 26, 27, 28, 2, 29metss2lem 20202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) )
3130expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D
) ( r  /  R ) )  C_  ( x ( ball `  C ) r ) ) )
3231ralrimiva 2822 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
3332ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
34 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
35 oveq1 6197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
x ( ball `  D
) ( r  /  R ) )  =  ( ( f `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) )
36 oveq1 6197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
x ( ball `  C
) r )  =  ( ( f `  k ) ( ball `  C ) r ) )
3735, 36sseq12d 3483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  <->  ( (
f `  k )
( ball `  D )
( r  /  R
) )  C_  (
( f `  k
) ( ball `  C
) r ) ) )
3837imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
( r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) )  <->  ( r  e.  RR+  ->  ( (
f `  k )
( ball `  D )
( r  /  R
) )  C_  (
( f `  k
) ( ball `  C
) r ) ) ) )
3938rspcv 3165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  k )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) )  -> 
( r  e.  RR+  ->  ( ( f `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( ( f `
 k ) (
ball `  C )
r ) ) ) )
4024, 33, 34, 39syl3c 61 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) )  C_  (
( f `  k
) ( ball `  C
) r ) )
41 fss 5665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) )  /\  (
( f `  k
) ( ball `  D
) ( r  /  R ) )  C_  ( ( f `  k ) ( ball `  C ) r ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) )
4211, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) )
4342expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) ( r  /  R ) )  -> 
( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  C )
r ) ) )
4443reximdva 2924 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) ) )
4510, 44syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s )  ->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  C )
r ) ) )
4645ralrimdva 2902 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s )  ->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) ) )
4746ss2rabdv 3531 . 2  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  (
f  |`  ( ZZ>= `  k
) ) : (
ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k
) ( ball `  D
) s ) } 
C_  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. r  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) } )
48 metxmet 20025 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
49 caufval 20902 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( Cau `  D )  =  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  (
f  |`  ( ZZ>= `  k
) ) : (
ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k
) ( ball `  D
) s ) } )
5028, 48, 493syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( Cau `  D
)  =  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s ) } )
51 metxmet 20025 . . 3  |-  ( C  e.  ( Met `  X
)  ->  C  e.  ( *Met `  X
) )
52 caufval 20902 . . 3  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  ( Cau `  C )  =  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. r  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  (
f  |`  ( ZZ>= `  k
) ) : (
ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k
) ( ball `  C
) r ) } )
5327, 51, 523syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( Cau `  C
)  =  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. r  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) } )
5447, 50, 533sstr4d 3497 1  |-  ( ph  ->  ( Cau `  D
)  C_  ( Cau `  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799    C_ wss 3426   class class class wbr 4390   dom cdm 4938    |` cres 4940   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    ^pm cpm 7315   CCcc 9381    x. cmul 9388    <_ cle 9520    / cdiv 10094   ZZcz 10747   ZZ>=cuz 10962   RR+crp 11092   *Metcxmt 17910   Metcme 17911   ballcbl 17912   MetOpencmopn 17915   Caucca 20880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-z 10748  df-uz 10963  df-rp 11093  df-xadd 11191  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-cau 20883
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