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Theorem equivcau 22212
Description: If the metric  D is "strongly finer" than  C (meaning that there is a positive real constant 
R such that  C ( x ,  y )  <_  R  x.  D (
x ,  y )), all the  D-Cauchy sequences are also  C-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
equivcau.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
equivcau.3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
equivcau.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  <_  ( R  x.  ( x D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
equivcau  |-  ( ph  ->  ( Cau `  D
)  C_  ( Cau `  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, D, y    ph, x, y    x, R, y    x, X, y

Proof of Theorem equivcau
Dummy variables  f 
k  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
2 equivcau.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  R  e.  RR+ )
41, 3rpdivcld 11309 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
r  /  R )  e.  RR+ )
5 oveq2 6257 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( r  /  R )  ->  (
( f `  k
) ( ball `  D
) s )  =  ( ( f `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) )
65feq3d 5677 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( r  /  R )  ->  (
( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
s )  <->  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) ( r  /  R ) ) ) )
76rexbidv 2878 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( r  /  R )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
s )  <->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) ( r  /  R ) ) ) )
87rspcv 3121 . . . . . 6  |-  ( ( r  /  R )  e.  RR+  ->  ( A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s )  ->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )
94, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s )  ->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )
10 simprr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) ( r  /  R ) ) )
11 elpmi 7445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  ->  ( f : dom  f --> X  /\  dom  f  C_  CC ) )
1211simpld 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  ->  f : dom  f --> X )
1312ad3antlr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  f : dom  f
--> X )
14 resss 5090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
)  C_  f
15 dmss 4996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  k ) )  C_  f  ->  dom  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
)  C_  dom  f )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
f  |`  ( ZZ>= `  k
) )  C_  dom  f
17 uzid 11124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  ( ZZ>= `  k )
)
1817ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  k ) )
19 fdm 5693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  k ) ) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  R ) )  ->  dom  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( ZZ>= `  k ) )
2019ad2antll 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  dom  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( ZZ>= `  k ) )
2118, 20eleqtrrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  k  e.  dom  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) )
2216, 21sseldi 3405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  k  e.  dom  f )
2313, 22ffvelrnd 5982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  ( f `  k )  e.  X
)
24 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  C )  =  (
MetOpen `  C )
25 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
26 equivcau.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
27 equivcau.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
28 equivcau.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  <_  ( R  x.  ( x D y ) ) )
2924, 25, 26, 27, 2, 28metss2lem 21468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) )
3029expr 618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D
) ( r  /  R ) )  C_  ( x ( ball `  C ) r ) ) )
3130ralrimiva 2779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
3231ad3antrrr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
33 simplr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
34 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
x ( ball `  D
) ( r  /  R ) )  =  ( ( f `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) )
35 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
x ( ball `  C
) r )  =  ( ( f `  k ) ( ball `  C ) r ) )
3634, 35sseq12d 3436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  <->  ( (
f `  k )
( ball `  D )
( r  /  R
) )  C_  (
( f `  k
) ( ball `  C
) r ) ) )
3736imbi2d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
( r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) )  <->  ( r  e.  RR+  ->  ( (
f `  k )
( ball `  D )
( r  /  R
) )  C_  (
( f `  k
) ( ball `  C
) r ) ) ) )
3837rspcv 3121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  k )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( r  e.  RR+  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) )  -> 
( r  e.  RR+  ->  ( ( f `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  R ) ) 
C_  ( ( f `
 k ) (
ball `  C )
r ) ) ) )
3923, 32, 33, 38syl3c 63 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) )  C_  (
( f `  k
) ( ball `  C
) r ) )
4010, 39fssd 5698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) ) ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) )
4140expr 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) ( r  /  R ) )  -> 
( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  C )
r ) ) )
4241reximdva 2839 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  R
) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) ) )
439, 42syld 45 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s )  ->  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  k ) ) : ( ZZ>= `  k
) --> ( ( f `
 k ) (
ball `  C )
r ) ) )
4443ralrimdva 2783 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s )  ->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) ) )
4544ss2rabdv 3485 . 2  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  (
f  |`  ( ZZ>= `  k
) ) : (
ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k
) ( ball `  D
) s ) } 
C_  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. r  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) } )
46 metxmet 21291 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
47 caufval 22187 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( Cau `  D )  =  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  (
f  |`  ( ZZ>= `  k
) ) : (
ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k
) ( ball `  D
) s ) } )
4827, 46, 473syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  ( Cau `  D
)  =  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. s  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  D
) s ) } )
49 metxmet 21291 . . 3  |-  ( C  e.  ( Met `  X
)  ->  C  e.  ( *Met `  X
) )
50 caufval 22187 . . 3  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  ( Cau `  C )  =  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. r  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  (
f  |`  ( ZZ>= `  k
) ) : (
ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k
) ( ball `  C
) r ) } )
5126, 49, 503syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  ( Cau `  C
)  =  { f  e.  ( X  ^pm  CC )  |  A. r  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  k )
) : ( ZZ>= `  k ) --> ( ( f `  k ) ( ball `  C
) r ) } )
5245, 48, 513sstr4d 3450 1  |-  ( ph  ->  ( Cau `  D
)  C_  ( Cau `  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718    C_ wss 3379   class class class wbr 4366   dom cdm 4796    |` cres 4798   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    ^pm cpm 7428   CCcc 9488    x. cmul 9495    <_ cle 9627    / cdiv 10220   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110   RR+crp 11253   *Metcxmt 18898   Metcme 18899   ballcbl 18900   MetOpencmopn 18903   Caucca 22165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-xadd 11361  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-cau 22168
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