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Theorem equivbnd2 30531
Description: If balls are totally bounded in the metric  M, then balls are totally bounded in the equivalent metric  N. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd2.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
equivbnd2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
equivbnd2.3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
equivbnd2.4  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
equivbnd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
equivbnd2.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x M y )  <_  ( S  x.  ( x N y ) ) )
equivbnd2.7  |-  C  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
equivbnd2.8  |-  D  =  ( N  |`  ( Y  X.  Y ) )
equivbnd2.9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  C  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
equivbnd2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  D  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, D, y    ph, x, y    x, R, y    x, S, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    M( x, y)    N( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem equivbnd2
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 30528 . 2  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  Y
)  ->  D  e.  ( Bnd `  Y ) )
2 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  D  e.  ( Bnd `  Y ) )
3 equivbnd2.7 . . . . . . 7  |-  C  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
4 equivbnd2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
54adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
6 equivbnd2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
7 equivbnd2.8 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( N  |`  ( Y  X.  Y ) )
87bnd2lem 30530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( Met `  X )  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  ->  Y  C_  X )
96, 8sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  Y  C_  X
)
10 metres2 21035 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
115, 9, 10syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y ) )
123, 11syl5eqel 2546 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( Met `  Y ) )
13 equivbnd2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
1413adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  S  e.  RR+ )
159sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
169sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
1715, 16anim12dan 835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )
18 equivbnd2.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x M y )  <_  ( S  x.  ( x N y ) ) )
1918adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x M y )  <_ 
( S  x.  (
x N y ) ) )
2017, 19syldan 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x M y )  <_ 
( S  x.  (
x N y ) ) )
213oveqi 6283 . . . . . . . . 9  |-  ( x C y )  =  ( x ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )
22 ovres 6415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x M y ) )
2321, 22syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x C y )  =  ( x M y ) )
2423adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x C y )  =  ( x M y ) )
257oveqi 6283 . . . . . . . . . 10  |-  ( x D y )  =  ( x ( N  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )
26 ovres 6415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x ( N  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x N y ) )
2725, 26syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x D y )  =  ( x N y ) )
2827adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x D y )  =  ( x N y ) )
2928oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( S  x.  ( x D y ) )  =  ( S  x.  ( x N y ) ) )
3020, 24, 293brtr4d 4469 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x C y )  <_ 
( S  x.  (
x D y ) ) )
312, 12, 14, 30equivbnd 30529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( Bnd `  Y ) )
32 equivbnd2.9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  C  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
3332biimpar 483 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  Y )
)
3431, 33syldan 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  Y )
)
35 bndmet 30520 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Bnd `  Y
)  ->  D  e.  ( Met `  Y ) )
3635adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  D  e.  ( Met `  Y ) )
37 equivbnd2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
3837adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  R  e.  RR+ )
39 equivbnd2.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
4039adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  (
x M y ) ) )
4117, 40syldan 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  (
x M y ) ) )
4224oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( R  x.  ( x C y ) )  =  ( R  x.  ( x M y ) ) )
4341, 28, 423brtr4d 4469 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x D y )  <_ 
( R  x.  (
x C y ) ) )
4434, 36, 38, 43equivtotbnd 30517 . . 3  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  D  e.  ( TotBnd `  Y )
)
4544ex 432 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( Bnd `  Y )  ->  D  e.  (
TotBnd `  Y ) ) )
461, 45impbid2 204 1  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  D  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    X. cxp 4986    |` cres 4990   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    x. cmul 9486    <_ cle 9618   RR+crp 11221   Metcme 18602   TotBndctotbnd 30505   Bndcbnd 30506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ec 7305  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-2 10590  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-totbnd 30507  df-bnd 30518
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  30575
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