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Theorem equivbnd2 28834
Description: If balls are totally bounded in the metric  M, then balls are totally bounded in the equivalent metric  N. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd2.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
equivbnd2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
equivbnd2.3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
equivbnd2.4  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
equivbnd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
equivbnd2.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x M y )  <_  ( S  x.  ( x N y ) ) )
equivbnd2.7  |-  C  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
equivbnd2.8  |-  D  =  ( N  |`  ( Y  X.  Y ) )
equivbnd2.9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  C  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
equivbnd2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  D  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, D, y    ph, x, y    x, R, y    x, S, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    M( x, y)    N( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem equivbnd2
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 28831 . 2  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  Y
)  ->  D  e.  ( Bnd `  Y ) )
2 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  D  e.  ( Bnd `  Y ) )
3 equivbnd2.7 . . . . . . 7  |-  C  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
4 equivbnd2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
54adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
6 equivbnd2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
7 equivbnd2.8 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( N  |`  ( Y  X.  Y ) )
87bnd2lem 28833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( Met `  X )  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  ->  Y  C_  X )
96, 8sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  Y  C_  X
)
10 metres2 20065 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
115, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y ) )
123, 11syl5eqel 2544 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( Met `  Y ) )
13 equivbnd2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
1413adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  S  e.  RR+ )
159sselda 3459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
169sselda 3459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
1715, 16anim12dan 833 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )
18 equivbnd2.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x M y )  <_  ( S  x.  ( x N y ) ) )
1918adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x M y )  <_ 
( S  x.  (
x N y ) ) )
2017, 19syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x M y )  <_ 
( S  x.  (
x N y ) ) )
213oveqi 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( x C y )  =  ( x ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )
22 ovres 6335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x M y ) )
2321, 22syl5eq 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x C y )  =  ( x M y ) )
2423adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x C y )  =  ( x M y ) )
257oveqi 6208 . . . . . . . . . 10  |-  ( x D y )  =  ( x ( N  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )
26 ovres 6335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x ( N  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x N y ) )
2725, 26syl5eq 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x D y )  =  ( x N y ) )
2827adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x D y )  =  ( x N y ) )
2928oveq2d 6211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( S  x.  ( x D y ) )  =  ( S  x.  ( x N y ) ) )
3020, 24, 293brtr4d 4425 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x C y )  <_ 
( S  x.  (
x D y ) ) )
312, 12, 14, 30equivbnd 28832 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( Bnd `  Y ) )
32 equivbnd2.9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  C  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
3332biimpar 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  Y )
)
3431, 33syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  Y )
)
35 bndmet 28823 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Bnd `  Y
)  ->  D  e.  ( Met `  Y ) )
3635adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  D  e.  ( Met `  Y ) )
37 equivbnd2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
3837adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  R  e.  RR+ )
39 equivbnd2.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
4039adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  (
x M y ) ) )
4117, 40syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  (
x M y ) ) )
4224oveq2d 6211 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( R  x.  ( x C y ) )  =  ( R  x.  ( x M y ) ) )
4341, 28, 423brtr4d 4425 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( x D y )  <_ 
( R  x.  (
x C y ) ) )
4434, 36, 38, 43equivtotbnd 28820 . . 3  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( Bnd `  Y ) )  ->  D  e.  ( TotBnd `  Y )
)
4544ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( Bnd `  Y )  ->  D  e.  (
TotBnd `  Y ) ) )
461, 45impbid2 204 1  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  D  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3431   class class class wbr 4395    X. cxp 4941    |` cres 4945   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    x. cmul 9393    <_ cle 9525   RR+crp 11097   Metcme 17922   TotBndctotbnd 28808   Bndcbnd 28809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-ec 7208  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-2 10486  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-icc 11413  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-totbnd 28810  df-bnd 28821
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  28878
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