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Theorem equivbnd 29878
Description: If the metric  M is "strongly finer" than  N (meaning that there is a positive real constant 
R such that  N ( x ,  y )  <_  R  x.  M (
x ,  y )), then boundedness of  M implies boundedness of  N. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )
equivbnd.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
equivbnd.3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
equivbnd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
Assertion
Ref Expression
equivbnd  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Bnd `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, N, y    ph, x, y    x, X, y    x, R, y

Proof of Theorem equivbnd
Dummy variables  r 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equivbnd.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
2 equivbnd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )
3 isbnd3b 29873 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r
) )
43simprbi 464 . . . 4  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r
)
52, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  <_  r )
6 equivbnd.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
76rpred 11247 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
8 remulcl 9568 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( R  x.  r
)  e.  RR )
97, 8sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( R  x.  r )  e.  RR )
10 bndmet 29869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
112, 10syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  M  e.  ( Met `  X
) )
13 metcl 20565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x M y )  e.  RR )
14133expb 1192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x M y )  e.  RR )
1512, 14sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x M y )  e.  RR )
16 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  r  e.  RR )
176ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  R  e.  RR+ )
1815, 16, 17lemul2d 11287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x M y )  <_  r  <->  ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r )
) )
19 equivbnd.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
2019adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  (
x M y ) ) )
211adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  N  e.  ( Met `  X
) )
22 metcl 20565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x N y )  e.  RR )
23223expb 1192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  e.  RR )
2421, 23sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  e.  RR )
257ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  R  e.  RR )
2625, 15remulcld 9615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( R  x.  ( x M y ) )  e.  RR )
279adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( R  x.  r )  e.  RR )
28 letr 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x N y )  e.  RR  /\  ( R  x.  (
x M y ) )  e.  RR  /\  ( R  x.  r
)  e.  RR )  ->  ( ( ( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) )  /\  ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
2924, 26, 27, 28syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) )  /\  ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3020, 29mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r )  ->  (
x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3118, 30sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x M y )  <_  r  ->  (
x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3231anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( x M y )  <_  r  ->  ( x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3332ralimdva 2867 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r  ->  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3433ralimdva 2867 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  <_  r  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_ 
( R  x.  r
) ) )
35 breq2 4446 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( R  x.  r )  ->  (
( x N y )  <_  s  <->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  r
) ) )
36352ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( R  x.  r )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  s  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_ 
( R  x.  r
) ) )
3736rspcev 3209 . . . . 5  |-  ( ( ( R  x.  r
)  e.  RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  ( R  x.  r ) )  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  s )
389, 34, 37syl6an 545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  <_  r  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  s
) )
3938rexlimdva 2950 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  s ) )
405, 39mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  s )
41 isbnd3b 29873 . 2  |-  ( N  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( N  e.  ( Met `  X
)  /\  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  s
) )
421, 40, 41sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Bnd `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   RRcr 9482    x. cmul 9488    <_ cle 9620   RR+crp 11211   Metcme 18170   Bndcbnd 29855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-er 7303  df-ec 7305  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-2 10585  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-icc 11527  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-bnd 29867
This theorem is referenced by:  equivbnd2  29880
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