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Theorem equivbnd 31581
Description: If the metric  M is "strongly finer" than  N (meaning that there is a positive real constant 
R such that  N ( x ,  y )  <_  R  x.  M (
x ,  y )), then boundedness of  M implies boundedness of  N. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )
equivbnd.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
equivbnd.3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
equivbnd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
Assertion
Ref Expression
equivbnd  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Bnd `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, N, y    ph, x, y    x, X, y    x, R, y

Proof of Theorem equivbnd
Dummy variables  r 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equivbnd.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Met `  X ) )
2 equivbnd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )
3 isbnd3b 31576 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r
) )
43simprbi 464 . . . 4  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r
)
52, 4syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  <_  r )
6 equivbnd.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
76rpred 11306 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
8 remulcl 9609 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( R  x.  r
)  e.  RR )
97, 8sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( R  x.  r )  e.  RR )
10 bndmet 31572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
112, 10syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
1211adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  M  e.  ( Met `  X
) )
13 metcl 21129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x M y )  e.  RR )
14133expb 1200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x M y )  e.  RR )
1512, 14sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x M y )  e.  RR )
16 simplr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  r  e.  RR )
176ad2antrr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  R  e.  RR+ )
1815, 16, 17lemul2d 11346 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x M y )  <_  r  <->  ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r )
) )
19 equivbnd.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) ) )
2019adantlr 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  (
x M y ) ) )
211adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  N  e.  ( Met `  X
) )
22 metcl 21129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x N y )  e.  RR )
23223expb 1200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  e.  RR )
2421, 23sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x N y )  e.  RR )
257ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  R  e.  RR )
2625, 15remulcld 9656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( R  x.  ( x M y ) )  e.  RR )
279adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( R  x.  r )  e.  RR )
28 letr 9711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x N y )  e.  RR  /\  ( R  x.  (
x M y ) )  e.  RR  /\  ( R  x.  r
)  e.  RR )  ->  ( ( ( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) )  /\  ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
2924, 26, 27, 28syl3anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
( x N y )  <_  ( R  x.  ( x M y ) )  /\  ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r ) )  -> 
( x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3020, 29mpand 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( R  x.  ( x M y ) )  <_  ( R  x.  r )  ->  (
x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3118, 30sylbid 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x M y )  <_  r  ->  (
x N y )  <_  ( R  x.  r ) ) )
3231ralimdvva 2817 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  <_  r  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_ 
( R  x.  r
) ) )
33 breq2 4401 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( R  x.  r )  ->  (
( x N y )  <_  s  <->  ( x N y )  <_ 
( R  x.  r
) ) )
34332ralbidv 2850 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( R  x.  r )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  s  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_ 
( R  x.  r
) ) )
3534rspcev 3162 . . . . 5  |-  ( ( ( R  x.  r
)  e.  RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  ( R  x.  r ) )  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  s )
369, 32, 35syl6an 545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  <_  r  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  s
) )
3736rexlimdva 2898 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  <_  r  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  s ) )
385, 37mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x N y )  <_  s )
39 isbnd3b 31576 . 2  |-  ( N  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( N  e.  ( Met `  X
)  /\  E. s  e.  RR  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x N y )  <_  s
) )
401, 38, 39sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Bnd `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   RRcr 9523    x. cmul 9529    <_ cle 9661   RR+crp 11267   Metcme 18726   Bndcbnd 31558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-er 7350  df-ec 7352  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-2 10637  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-icc 11591  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-bnd 31570
This theorem is referenced by:  equivbnd2  31583
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