MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqsupd Structured version   Unicode version

Theorem eqsupd 7703
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
supmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
eqsupd.2  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
eqsupd.3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  -.  C R y )
eqsupd.4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  y R C ) )  ->  E. z  e.  B  y R z )
Assertion
Ref Expression
eqsupd  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C )
Distinct variable groups:    y, z, A    y, R, z    y, B, z    y, C    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    C( z)

Proof of Theorem eqsupd
StepHypRef Expression
1 eqsupd.2 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
2 eqsupd.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  -.  C R y )
32ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  -.  C R y )
4 eqsupd.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  y R C ) )  ->  E. z  e.  B  y R z )
54expr 612 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
65ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
7 supmo.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
87eqsup 7702 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
91, 3, 6, 8mp3and 1312 1  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   class class class wbr 4289    Or wor 4636   supcsup 7686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-po 4637  df-so 4638  df-iota 5378  df-riota 6049  df-sup 7687
This theorem is referenced by:  supiso  7718  xrinfm0  11295  esumpcvgval  26463  mblfinlem3  28355  mblfinlem4  28356  ismblfin  28357  itg2addnclem  28368
  Copyright terms: Public domain W3C validator