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Theorem eqsup 7830
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
supmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
Assertion
Ref Expression
eqsup  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    y, R, z    y, B, z    y, C
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    C( z)

Proof of Theorem eqsup
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmo.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
21adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  R  Or  A )
32supval2 7829 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  (
iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
4 3simpc 993 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
54adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
6 simpr1 1000 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  C  e.  A )
7 breq1 4370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  C  ->  (
x R y  <->  C R
y ) )
87notbid 292 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  ( -.  x R y  <->  -.  C R y ) )
98ralbidv 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. y  e.  B  -.  C R y ) )
10 breq2 4371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  C  ->  (
y R x  <->  y R C ) )
1110imbi1d 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
1211ralbidv 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
139, 12anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
1413rspcev 3135 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
156, 5, 14syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
162, 15supeu 7828 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
1713riota2 6180 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  A  /\  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  C ) )
186, 16, 17syl2anc 659 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  C ) )
195, 18mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  C )
203, 19eqtrd 2423 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C )
2120ex 432 1  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   E!wreu 2734   class class class wbr 4367    Or wor 4713   iota_crio 6157   supcsup 7815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-po 4714  df-so 4715  df-iota 5460  df-riota 6158  df-sup 7816
This theorem is referenced by:  eqsupd  7831  suprzcl2  11091  supxr  11425
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