MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqssi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem eqssi 3448
Description: Infer equality from two subclass relationships. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 9-Sep-1993.)
Hypotheses
Ref Expression
eqssi.1  |-  A  C_  B
eqssi.2  |-  B  C_  A
Assertion
Ref Expression
eqssi  |-  A  =  B

Proof of Theorem eqssi
StepHypRef Expression
1 eqssi.1 . 2  |-  A  C_  B
2 eqssi.2 . 2  |-  B  C_  A
3 eqss 3447 . 2  |-  ( A  =  B  <->  ( A  C_  B  /\  B  C_  A ) )
41, 2, 3mpbir2an 931 1  |-  A  =  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1444    C_ wss 3404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-in 3411  df-ss 3418
This theorem is referenced by:  inv1  3761  unv  3762  intab  4265  intabs  4564  intid  4658  dmv  5050  0ima  5184  fresaunres2  5755  find  6718  dftpos4  6992  wfrlem16  7051  dfom3  8152  tc2  8226  tcidm  8230  tc0  8231  rankuni  8334  rankval4  8338  ackbij1  8668  cfom  8694  fin23lem16  8765  itunitc  8851  inaprc  9261  nqerf  9355  dmrecnq  9393  dmaddsr  9509  dmmulsr  9510  axaddf  9569  axmulf  9570  dfnn2  10622  dfuzi  11026  unirnioo  11734  uzrdgfni  12172  0bits  14413  4sqlem19  14913  ledm  16470  lern  16471  efgsfo  17389  0frgp  17429  indiscld  20107  leordtval2  20228  lecldbas  20235  llyidm  20503  nllyidm  20504  toplly  20505  lly1stc  20511  txuni2  20580  txindis  20649  ust0  21234  qdensere  21790  xrtgioo  21824  zdis  21834  xrhmeo  21974  bndth  21986  ismbf3d  22610  dvef  22932  reeff1o  23402  efifo  23496  dvloglem  23593  logf1o2  23595  choc1  26980  shsidmi  27037  shsval2i  27040  omlsii  27056  chdmm1i  27130  chj1i  27142  chm0i  27143  shjshsi  27145  span0  27195  spanuni  27197  sshhococi  27199  spansni  27210  pjoml4i  27240  pjrni  27355  shatomistici  28014  sumdmdlem2  28072  rinvf1o  28230  sigapildsys  28984  sxbrsigalem0  29093  dya2iocucvr  29106  sxbrsigalem4  29109  sxbrsiga  29112  ballotth  29370  ballotthOLD  29408  kur14lem6  29934  mrsubrn  30151  msubrn  30167  filnetlem3  31036  filnetlem4  31037  onint1  31109  oninhaus  31110  bj-rabtr  31533  bj-rabtrALTALT  31535  bj-rabtrAUTO  31536  bj-nuliotaALT  31624  icoreunrn  31762  comptiunov2i  36298  compne  36793  unisnALT  37323  fsumiunss  37654  fourierdlem62  38032  fouriersw  38095  salexct  38193  salgencntex  38202
  Copyright terms: Public domain W3C validator