MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqs1 Structured version   Unicode version

Theorem eqs1 12601
Description: A word of length 1 is a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eqs1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  =  <" ( W `  0 ) "> )

Proof of Theorem eqs1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdf 12534 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  A  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
3 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( # `  W )  =  1 )
43oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( 0..^ ( # `  W ) )  =  ( 0..^ 1 ) )
54feq2d 5724 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> A  <->  W :
( 0..^ 1 ) --> A ) )
62, 5mpbid 210 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W : ( 0..^ 1 ) --> A )
7 ffn 5737 . . 3  |-  ( W : ( 0..^ 1 ) --> A  ->  W  Fn  ( 0..^ 1 ) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  Fn  ( 0..^ 1 ) )
9 0z 10887 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
10 snidg 4059 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  { 0 } )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  0  e.  { 0 }
12 fzo01 11877 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1311, 12eleqtrri 2554 . . . . . 6  |-  0  e.  ( 0..^ 1 )
14 ffvelrn 6030 . . . . . 6  |-  ( ( W : ( 0..^ 1 ) --> A  /\  0  e.  ( 0..^ 1 ) )  -> 
( W `  0
)  e.  A )
156, 13, 14sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( W `  0
)  e.  A )
1615s1cld 12595 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  e. Word  A )
17 wrdf 12534 . . . 4  |-  ( <" ( W ` 
0 ) ">  e. Word  A  ->  <" ( W `  0 ) "> : ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
) --> A )
18 ffn 5737 . . . 4  |-  ( <" ( W ` 
0 ) "> : ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) ) --> A  ->  <" ( W `
 0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
) )
1916, 17, 183syl 20 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) ) )
20 s1len 12597 . . . . 5  |-  ( # `  <" ( W `
 0 ) "> )  =  1
2120oveq2i 6306 . . . 4  |-  ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
)  =  ( 0..^ 1 )
2221fneq2i 5682 . . 3  |-  ( <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) )  <->  <" ( W `  0 ) ">  Fn  ( 0..^ 1 ) )
2319, 22sylib 196 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ 1 ) )
24 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( W `
 0 )  e. 
_V
25 s1fv 12599 . . . . . 6  |-  ( ( W `  0 )  e.  _V  ->  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 )  =  ( W `  0 ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 )  =  ( W `  0 )
2726eqcomi 2480 . . . 4  |-  ( W `
 0 )  =  ( <" ( W `  0 ) "> `  0 )
28 elsni 4058 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  x  =  0 )
2928, 12eleq2s 2575 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  x  = 
0 )
3029fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( W `  x )  =  ( W `  0 ) )
3129fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( <" ( W `  0
) "> `  x
)  =  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 ) )
3227, 30, 313eqtr4a 2534 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( W `  x )  =  (
<" ( W ` 
0 ) "> `  x ) )
3332adantl 466 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W
)  =  1 )  /\  x  e.  ( 0..^ 1 ) )  ->  ( W `  x )  =  (
<" ( W ` 
0 ) "> `  x ) )
348, 23, 33eqfnfvd 5985 1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  =  <" ( W `  0 ) "> )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   {csn 4033    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0cc0 9504   1c1 9505   ZZcz 10876  ..^cfzo 11804   #chash 12385  Word cword 12515   <"cs1 12518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-s1 12526
This theorem is referenced by:  wrdl1s1  12602  swrds1  12656  revs1  12719  wwlkn0  24503  signsvtn0  28343
  Copyright terms: Public domain W3C validator