MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqs1 Structured version   Unicode version

Theorem eqs1 12421
Description: A word of length 1 is a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eqs1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  =  <" ( W `  0 ) "> )

Proof of Theorem eqs1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdf 12361 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  A  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
3 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( # `  W )  =  1 )
43oveq2d 6219 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( 0..^ ( # `  W ) )  =  ( 0..^ 1 ) )
54feq2d 5658 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> A  <->  W :
( 0..^ 1 ) --> A ) )
62, 5mpbid 210 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W : ( 0..^ 1 ) --> A )
7 ffn 5670 . . 3  |-  ( W : ( 0..^ 1 ) --> A  ->  W  Fn  ( 0..^ 1 ) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  Fn  ( 0..^ 1 ) )
9 0z 10771 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
10 snidg 4014 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  { 0 } )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  0  e.  { 0 }
12 fzo01 11732 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1311, 12eleqtrri 2541 . . . . . 6  |-  0  e.  ( 0..^ 1 )
14 ffvelrn 5953 . . . . . 6  |-  ( ( W : ( 0..^ 1 ) --> A  /\  0  e.  ( 0..^ 1 ) )  -> 
( W `  0
)  e.  A )
156, 13, 14sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( W `  0
)  e.  A )
1615s1cld 12415 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  e. Word  A )
17 wrdf 12361 . . . 4  |-  ( <" ( W ` 
0 ) ">  e. Word  A  ->  <" ( W `  0 ) "> : ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
) --> A )
18 ffn 5670 . . . 4  |-  ( <" ( W ` 
0 ) "> : ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) ) --> A  ->  <" ( W `
 0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
) )
1916, 17, 183syl 20 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) ) )
20 s1len 12417 . . . . 5  |-  ( # `  <" ( W `
 0 ) "> )  =  1
2120oveq2i 6214 . . . 4  |-  ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
)  =  ( 0..^ 1 )
2221fneq2i 5617 . . 3  |-  ( <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) )  <->  <" ( W `  0 ) ">  Fn  ( 0..^ 1 ) )
2319, 22sylib 196 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ 1 ) )
24 fvex 5812 . . . . . 6  |-  ( W `
 0 )  e. 
_V
25 s1fv 12419 . . . . . 6  |-  ( ( W `  0 )  e.  _V  ->  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 )  =  ( W `  0 ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 )  =  ( W `  0 )
2726eqcomi 2467 . . . 4  |-  ( W `
 0 )  =  ( <" ( W `  0 ) "> `  0 )
28 elsni 4013 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  x  =  0 )
2928, 12eleq2s 2562 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  x  = 
0 )
3029fveq2d 5806 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( W `  x )  =  ( W `  0 ) )
3129fveq2d 5806 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( <" ( W `  0
) "> `  x
)  =  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 ) )
3227, 30, 313eqtr4a 2521 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( W `  x )  =  (
<" ( W ` 
0 ) "> `  x ) )
3332adantl 466 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W
)  =  1 )  /\  x  e.  ( 0..^ 1 ) )  ->  ( W `  x )  =  (
<" ( W ` 
0 ) "> `  x ) )
348, 23, 33eqfnfvd 5912 1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  =  <" ( W `  0 ) "> )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   {csn 3988    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9396   1c1 9397   ZZcz 10760  ..^cfzo 11668   #chash 12223  Word cword 12342   <"cs1 12345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-hash 12224  df-word 12350  df-s1 12353
This theorem is referenced by:  wrdl1s1  12422  swrds1  12466  revs1  12526  signsvtn0  27135  wwlkn0  30491
  Copyright terms: Public domain W3C validator