MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqs1 Structured version   Unicode version

Theorem eqs1 12292
Description: A word of length 1 is a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eqs1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  =  <" ( W `  0 ) "> )

Proof of Theorem eqs1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdf 12232 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  A  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
3 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( # `  W )  =  1 )
43oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( 0..^ ( # `  W ) )  =  ( 0..^ 1 ) )
54feq2d 5542 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> A  <->  W :
( 0..^ 1 ) --> A ) )
62, 5mpbid 210 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W : ( 0..^ 1 ) --> A )
7 ffn 5554 . . 3  |-  ( W : ( 0..^ 1 ) --> A  ->  W  Fn  ( 0..^ 1 ) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  Fn  ( 0..^ 1 ) )
9 0z 10649 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
10 snidg 3898 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  { 0 } )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  0  e.  { 0 }
12 fzo01 11604 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1311, 12eleqtrri 2511 . . . . . 6  |-  0  e.  ( 0..^ 1 )
14 ffvelrn 5836 . . . . . 6  |-  ( ( W : ( 0..^ 1 ) --> A  /\  0  e.  ( 0..^ 1 ) )  -> 
( W `  0
)  e.  A )
156, 13, 14sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( W `  0
)  e.  A )
1615s1cld 12286 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  e. Word  A )
17 wrdf 12232 . . . 4  |-  ( <" ( W ` 
0 ) ">  e. Word  A  ->  <" ( W `  0 ) "> : ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
) --> A )
18 ffn 5554 . . . 4  |-  ( <" ( W ` 
0 ) "> : ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) ) --> A  ->  <" ( W `
 0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
) )
1916, 17, 183syl 20 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) ) )
20 s1len 12288 . . . . 5  |-  ( # `  <" ( W `
 0 ) "> )  =  1
2120oveq2i 6097 . . . 4  |-  ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
)  =  ( 0..^ 1 )
2221fneq2i 5501 . . 3  |-  ( <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) )  <->  <" ( W `  0 ) ">  Fn  ( 0..^ 1 ) )
2319, 22sylib 196 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ 1 ) )
24 fvex 5696 . . . . . 6  |-  ( W `
 0 )  e. 
_V
25 s1fv 12290 . . . . . 6  |-  ( ( W `  0 )  e.  _V  ->  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 )  =  ( W `  0 ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 )  =  ( W `  0 )
2726eqcomi 2442 . . . 4  |-  ( W `
 0 )  =  ( <" ( W `  0 ) "> `  0 )
28 elsni 3897 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  x  =  0 )
2928, 12eleq2s 2530 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  x  = 
0 )
3029fveq2d 5690 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( W `  x )  =  ( W `  0 ) )
3129fveq2d 5690 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( <" ( W `  0
) "> `  x
)  =  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 ) )
3227, 30, 313eqtr4a 2496 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( W `  x )  =  (
<" ( W ` 
0 ) "> `  x ) )
3332adantl 466 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W
)  =  1 )  /\  x  e.  ( 0..^ 1 ) )  ->  ( W `  x )  =  (
<" ( W ` 
0 ) "> `  x ) )
348, 23, 33eqfnfvd 5795 1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  =  <" ( W `  0 ) "> )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   {csn 3872    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275   ZZcz 10638  ..^cfzo 11540   #chash 12095  Word cword 12213   <"cs1 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221  df-s1 12224
This theorem is referenced by:  wrdl1s1  12293  swrds1  12337  revs1  12397  signsvtn0  26923  wwlkn0  30276
  Copyright terms: Public domain W3C validator