MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqresr Structured version   Unicode version

Theorem eqresr 9309
Description: Equality of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
eqresr.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
eqresr  |-  ( <. A ,  0R >.  =  <. B ,  0R >.  <->  A  =  B )

Proof of Theorem eqresr
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . 2  |-  0R  =  0R
2 eqresr.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 0r 9252 . . . 4  |-  0R  e.  R.
43elexi 2987 . . 3  |-  0R  e.  _V
52, 4opth 4571 . 2  |-  ( <. A ,  0R >.  =  <. B ,  0R >.  <->  ( A  =  B  /\  0R  =  0R ) )
61, 5mpbiran2 910 1  |-  ( <. A ,  0R >.  =  <. B ,  0R >.  <->  A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977   <.cop 3888   R.cnr 9039   0Rc0r 9040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-ec 7108  df-qs 7112  df-ni 9046  df-pli 9047  df-mi 9048  df-lti 9049  df-plpq 9082  df-mpq 9083  df-ltpq 9084  df-enq 9085  df-nq 9086  df-erq 9087  df-plq 9088  df-mq 9089  df-1nq 9090  df-rq 9091  df-ltnq 9092  df-np 9155  df-1p 9156  df-enr 9231  df-nr 9232  df-0r 9236
This theorem is referenced by:  ltresr  9312  ax1ne0  9332  axrrecex  9335  axpre-lttri  9337
  Copyright terms: Public domain W3C validator