Theorem eqrelrivOLD 4081

Description: Inference from extensionality principle for relations.

Hypotheses

Ref	Expression
eqreli.1	|- Rel A
eqreli.2	|- Rel B
eqreli.3	|- (<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B)

Assertion

Ref	Expression
eqrelrivOLD	|- A = B

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem eqrelrivOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqreli.1	. . 3 |- Rel A
2		eqreli.2	. . 3 |- Rel B
3		eqrel 4077	. . 3 |- ((Rel A /\ Rel B) -> (A = B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B)))
4	1, 2, 3	mp2an 761	. 2 |- (A = B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B))
5		eqreli.3	. . 3 |- (<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B)
6	5	ax-gen 1305	. 2 |- A.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B)
7	4, 6	mpgbir 1334	1 |- A = B

Syntax hints:   <-> wb 163  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046  Rel wrel 3991

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001

Copyright terms: Public domain