MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqrelrel Structured version   Unicode version

Theorem eqrelrel 4956
Description: Extensionality principle for ordered triples (used by 2-place operations df-oprab 6110), analogous to eqrel 4944. Use relrelss 5376 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
eqrelrel  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  <->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem eqrelrel
StepHypRef Expression
1 unss 3545 . 2  |-  ( ( A  C_  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V )  /\  B  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)  <->  ( A  u.  B )  C_  (
( _V  X.  _V )  X.  _V ) )
2 ssrelrel 4955 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  ( A  C_  B 
<-> 
A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) ) )
3 ssrelrel 4955 . . . 4  |-  ( B 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  ( B  C_  A 
<-> 
A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A ) ) )
42, 3bi2anan9 868 . . 3  |-  ( ( A  C_  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V )  /\  B  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)  ->  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  A )  <->  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  /\  A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A ) ) ) )
5 eqss 3386 . . 3  |-  ( A  =  B  <->  ( A  C_  B  /\  B  C_  A ) )
6 2albiim 1666 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  A  <->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  B
)  <->  ( A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  /\  A. y A. z (
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A ) ) )
76albii 1610 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  <->  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B )  <->  A. x
( A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  /\  A. y A. z (
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A ) ) )
8 19.26 1647 . . . 4  |-  ( A. x ( A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  /\  A. y A. z (
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A ) )  <-> 
( A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  A  -> 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B )  /\  A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A ) ) )
97, 8bitri 249 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  <->  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B )  <->  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  /\  A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A ) ) )
104, 5, 93bitr4g 288 . 2  |-  ( ( A  C_  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V )  /\  B  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  <->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) ) )
111, 10sylbir 213 1  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  <->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2987    u. cun 3341    C_ wss 3343   <.cop 3898    X. cxp 4853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pr 4546
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-rab 2739  df-v 2989  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-opab 4366  df-xp 4861
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator