MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqrelrel Structured version   Unicode version

Theorem eqrelrel 5110
Description: Extensionality principle for ordered triples (used by 2-place operations df-oprab 6299), analogous to eqrel 5098. Use relrelss 5537 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
eqrelrel  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  <->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem eqrelrel
StepHypRef Expression
1 unss 3683 . 2  |-  ( ( A  C_  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V )  /\  B  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)  <->  ( A  u.  B )  C_  (
( _V  X.  _V )  X.  _V ) )
2 ssrelrel 5109 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  ( A  C_  B 
<-> 
A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) ) )
3 ssrelrel 5109 . . . 4  |-  ( B 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  ( B  C_  A 
<-> 
A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A ) ) )
42, 3bi2anan9 871 . . 3  |-  ( ( A  C_  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V )  /\  B  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)  ->  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  A )  <->  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  /\  A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A ) ) ) )
5 eqss 3524 . . 3  |-  ( A  =  B  <->  ( A  C_  B  /\  B  C_  A ) )
6 2albiim 1676 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  A  <->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  B
)  <->  ( A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  /\  A. y A. z (
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A ) ) )
76albii 1620 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  <->  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B )  <->  A. x
( A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  /\  A. y A. z (
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A ) ) )
8 19.26 1657 . . . 4  |-  ( A. x ( A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  /\  A. y A. z (
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A ) )  <-> 
( A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  A  -> 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B )  /\  A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A ) ) )
97, 8bitri 249 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  <->  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B )  <->  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  /\  A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A ) ) )
104, 5, 93bitr4g 288 . 2  |-  ( ( A  C_  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V )  /\  B  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  <->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) ) )
111, 10sylbir 213 1  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  <->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    u. cun 3479    C_ wss 3481   <.cop 4039    X. cxp 5003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-opab 4512  df-xp 5011
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator