Theorem eqrelrdv2 5093

Description: A version of eqrelrdv 5090. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqrelrdv2.1	|- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
eqrelrdv2	|- ( ( ( Rel A /\ Rel B ) /\ ph ) -> A = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y

Proof of Theorem eqrelrdv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelrdv2.1	. . . 4 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1691	. . 3 |- ( ph -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
3	2	adantl 466	. 2 |- ( ( ( Rel A /\ Rel B ) /\ ph ) -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
4		eqrel 5083	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )
5	4	adantr 465	. 2 |- ( ( ( Rel A /\ Rel B ) /\ ph ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )
6	3, 5	mpbird 232	1 |- ( ( ( Rel A /\ Rel B ) /\ ph ) -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1372   = wceq 1374   e. wcel 1762   <.cop 4026   Rel wrel 4997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-opab 4499  df-xp 4998  df-rel 4999

This theorem is referenced by:  xpiindi  5129  fliftcnv  6188  dmtpos  6957  ercnv  7322  fpwwe2lem9  9005  invsym2  15007  eqbrrdv2  30195  dibglbN  35838  diclspsn  35866  dih1  35958  dihglbcpreN  35972  dihmeetlem4preN  35978