MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqrelrdv Structured version   Unicode version

Theorem eqrelrdv 4922
Description: Deduce equality of relations from equivalence of membership. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
eqrelrdv.1  |-  Rel  A
eqrelrdv.2  |-  Rel  B
eqrelrdv.3  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
Assertion
Ref Expression
eqrelrdv  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    ph, x, y

Proof of Theorem eqrelrdv
StepHypRef Expression
1 eqrelrdv.3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
21alrimivv 1743 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
3 eqrelrdv.1 . . 3  |-  Rel  A
4 eqrelrdv.2 . . 3  |-  Rel  B
5 eqrel 4915 . . 3  |-  ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
63, 4, 5mp2an 672 . 2  |-  ( A  =  B  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  <->  <.
x ,  y >.  e.  B ) )
72, 6sylibr 214 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186   A.wal 1405    = wceq 1407    e. wcel 1844   <.cop 3980   Rel wrel 4830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-v 3063  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-opab 4456  df-xp 4831  df-rel 4832
This theorem is referenced by:  eqbrrdiv  4924  fcnvres  5747  fmptco  6045  fpwwe2lem8  9047  fpwwe2lem12  9051  fsumcom2  13742  fprodcom2  13942  gsumcom2  17326  lgsquadlem1  24012  lgsquadlem2  24013  fmptcof2  27954  dfcnv2  27974  dih1dimatlem  34362
  Copyright terms: Public domain W3C validator