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Theorem eqrabdioph 29263
Description: Diophantine set builder for equality of polynomial expressions. Note that the two expressions need not be nonnegative; only variables are so constrained. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eqrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable group:    t, N
Allowed substitution hints:    A( t)    B( t)

Proof of Theorem eqrabdioph
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4488 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )
21nfel1 2631 . . . . . 6  |-  F/ t ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )
3 nfmpt1 4488 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B )
43nfel1 2631 . . . . . 6  |-  F/ t ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )
52, 4nfan 1866 . . . . 5  |-  F/ t ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
6 mzpf 29219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
76ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
8 zex 10765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  e.  _V
9 nn0ssz 10777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  C_  ZZ
10 mapss 7364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
118, 9, 10mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) )
1211sseli 3459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) )
14 mptfcl 29203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ 
->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ZZ ) )
157, 13, 14sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A  e.  ZZ )
1615zcnd 10858 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A  e.  CC )
17 mzpf 29219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
1817ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B ) : ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
19 mptfcl 29203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ 
->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  B  e.  ZZ ) )
2018, 13, 19sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  B  e.  ZZ )
2120zcnd 10858 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  B  e.  CC )
2216, 21subeq0ad 9839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
2322bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A  =  B  <-> 
( A  -  B
)  =  0 ) )
2423ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  -  B )  =  0 ) ) )
255, 24ralrimi 2822 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A  =  B  <->  ( A  -  B )  =  0 ) )
26 rabbi 3003 . . . 4  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  =  B  <->  ( A  -  B )  =  0 )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( A  -  B )  =  0 } )
2725, 26sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( A  -  B )  =  0 } )
28273adant1 1006 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( A  -  B )  =  0 } )
29 simp1 988 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
30 mzpsubmpt 29226 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
31303adant1 1006 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
32 eq0rabdioph 29262 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  ( A  -  B )  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
3329, 31, 32syl2anc 661 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  ( A  -  B )  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
3428, 33eqeltrd 2542 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   {crab 2802   _Vcvv 3076    C_ wss 3435    |-> cmpt 4457   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    ^m cmap 7323   0cc0 9392   1c1 9393    - cmin 9705   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   ...cfz 11553  mzPolycmzp 29205  Diophcdioph 29240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-mzpcl 29206  df-mzp 29207  df-dioph 29241
This theorem is referenced by:  elnn0rabdioph  29288  dvdsrabdioph  29295  rmydioph  29510  rmxdioph  29512  expdiophlem2  29518  expdioph  29519
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