Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqrabdioph Structured version   Unicode version

Theorem eqrabdioph 30950
Description: Diophantine set builder for equality of polynomial expressions. Note that the two expressions need not be nonnegative; only variables are so constrained. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eqrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable group:    t, N
Allowed substitution hints:    A( t)    B( t)

Proof of Theorem eqrabdioph
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4528 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )
21nfel1 2632 . . . . . 6  |-  F/ t ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )
3 nfmpt1 4528 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B )
43nfel1 2632 . . . . . 6  |-  F/ t ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )
52, 4nfan 1933 . . . . 5  |-  F/ t ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
6 mzpf 30908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
76ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
8 zex 10869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  e.  _V
9 nn0ssz 10881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  C_  ZZ
10 mapss 7454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
118, 9, 10mp2an 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) )
1211sseli 3485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
1312adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) )
14 mptfcl 30892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ 
->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ZZ ) )
157, 13, 14sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A  e.  ZZ )
1615zcnd 10966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A  e.  CC )
17 mzpf 30908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
1817ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B ) : ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
19 mptfcl 30892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ 
->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  B  e.  ZZ ) )
2018, 13, 19sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  B  e.  ZZ )
2120zcnd 10966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  B  e.  CC )
2216, 21subeq0ad 9932 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
2322bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A  =  B  <-> 
( A  -  B
)  =  0 ) )
2423ex 432 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  -  B )  =  0 ) ) )
255, 24ralrimi 2854 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A  =  B  <->  ( A  -  B )  =  0 ) )
26 rabbi 3033 . . . 4  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  =  B  <->  ( A  -  B )  =  0 )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( A  -  B )  =  0 } )
2725, 26sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( A  -  B )  =  0 } )
28273adant1 1012 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( A  -  B )  =  0 } )
29 simp1 994 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
30 mzpsubmpt 30915 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
31303adant1 1012 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
32 eq0rabdioph 30949 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  ( A  -  B )  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
3329, 31, 32syl2anc 659 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  ( A  -  B )  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
3428, 33eqeltrd 2542 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106    C_ wss 3461    |-> cmpt 4497   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   0cc0 9481   1c1 9482    - cmin 9796   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ...cfz 11675  mzPolycmzp 30894  Diophcdioph 30927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-mzpcl 30895  df-mzp 30896  df-dioph 30928
This theorem is referenced by:  elnn0rabdioph  30976  dvdsrabdioph  30983  rmydioph  31195  rmxdioph  31197  expdiophlem2  31203  expdioph  31204
  Copyright terms: Public domain W3C validator