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Theorem eqrabdioph 30343
Description: Diophantine set builder for equality of polynomial expressions. Note that the two expressions need not be nonnegative; only variables are so constrained. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eqrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable group:    t, N
Allowed substitution hints:    A( t)    B( t)

Proof of Theorem eqrabdioph
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4536 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )
21nfel1 2645 . . . . . 6  |-  F/ t ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )
3 nfmpt1 4536 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B )
43nfel1 2645 . . . . . 6  |-  F/ t ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )
52, 4nfan 1875 . . . . 5  |-  F/ t ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
6 mzpf 30300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
76ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
8 zex 10873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  e.  _V
9 nn0ssz 10885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  C_  ZZ
10 mapss 7461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
118, 9, 10mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) )
1211sseli 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) )
14 mptfcl 30284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ 
->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ZZ ) )
157, 13, 14sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A  e.  ZZ )
1615zcnd 10967 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A  e.  CC )
17 mzpf 30300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
1817ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B ) : ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
19 mptfcl 30284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ 
->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  B  e.  ZZ ) )
2018, 13, 19sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  B  e.  ZZ )
2120zcnd 10967 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  B  e.  CC )
2216, 21subeq0ad 9940 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
2322bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A  =  B  <-> 
( A  -  B
)  =  0 ) )
2423ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  -  B )  =  0 ) ) )
255, 24ralrimi 2864 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A  =  B  <->  ( A  -  B )  =  0 ) )
26 rabbi 3040 . . . 4  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  =  B  <->  ( A  -  B )  =  0 )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( A  -  B )  =  0 } )
2725, 26sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( A  -  B )  =  0 } )
28273adant1 1014 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( A  -  B )  =  0 } )
29 simp1 996 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
30 mzpsubmpt 30307 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
31303adant1 1014 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
32 eq0rabdioph 30342 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  ( A  -  B )  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
3329, 31, 32syl2anc 661 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  ( A  -  B )  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
3428, 33eqeltrd 2555 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476    |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^m cmap 7420   0cc0 9492   1c1 9493    - cmin 9805   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ...cfz 11672  mzPolycmzp 30286  Diophcdioph 30320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-mzpcl 30287  df-mzp 30288  df-dioph 30321
This theorem is referenced by:  elnn0rabdioph  30368  dvdsrabdioph  30375  rmydioph  30588  rmxdioph  30590  expdiophlem2  30596  expdioph  30597
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