MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqoprab2b Structured version   Unicode version

Theorem eqoprab2b 6254
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Compare eqopab2b 4691. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
eqoprab2b  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  A. x A. y A. z (
ph 
<->  ps ) )

Proof of Theorem eqoprab2b
StepHypRef Expression
1 ssoprab2b 6253 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )
2 ssoprab2b 6253 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) )
31, 2anbi12i 695 . 2  |-  ( ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  /\  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ps }  C_  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )  <->  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
4 eqss 3432 . 2  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  /\  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ps }  C_  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } ) )
5 2albiim 1708 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( ph  <->  ps )  <->  ( A. y A. z ( ph  ->  ps )  /\  A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
65albii 1648 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ph  <->  ps )  <->  A. x
( A. y A. z ( ph  ->  ps )  /\  A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
7 19.26 1688 . . 3  |-  ( A. x ( A. y A. z ( ph  ->  ps )  /\  A. y A. z ( ps  ->  ph ) )  <->  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
86, 7bitri 249 . 2  |-  ( A. x A. y A. z
( ph  <->  ps )  <->  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
93, 4, 83bitr4i 277 1  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  A. x A. y A. z (
ph 
<->  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1397    = wceq 1399    C_ wss 3389   {coprab 6197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rab 2741  df-v 3036  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-oprab 6200
This theorem is referenced by:  mpt22eqb  6310  oprabbi  30736
  Copyright terms: Public domain W3C validator