MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqopab2b Structured version   Unicode version

Theorem eqopab2b 4720
Description: Equivalence of ordered pair abstraction equality and biconditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
eqopab2b  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =  { <. x ,  y >.  |  ps }  <->  A. x A. y ( ph  <->  ps )
)

Proof of Theorem eqopab2b
StepHypRef Expression
1 ssopab2b 4717 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y
( ph  ->  ps )
)
2 ssopab2b 4717 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  C_  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<-> 
A. x A. y
( ps  ->  ph )
)
31, 2anbi12i 695 . 2  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ph }  C_  {
<. x ,  y >.  |  ps }  /\  { <. x ,  y >.  |  ps }  C_  { <. x ,  y >.  |  ph } )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y ( ps 
->  ph ) ) )
4 eqss 3457 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =  { <. x ,  y >.  |  ps }  <->  ( { <. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps }  /\  { <. x ,  y >.  |  ps }  C_  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
5 2albiim 1721 . 2  |-  ( A. x A. y ( ph  <->  ps )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y ( ps  ->  ph ) ) )
63, 4, 53bitr4i 277 1  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =  { <. x ,  y >.  |  ps }  <->  A. x A. y ( ph  <->  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1403    = wceq 1405    C_ wss 3414   {copab 4452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-opab 4454
This theorem is referenced by:  opabbi  31856  mptbi12f  31857  relexp0eq  35680
  Copyright terms: Public domain W3C validator