MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqopab2b Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem eqopab2b 4731
Description: Equivalence of ordered pair abstraction equality and biconditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
eqopab2b  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =  { <. x ,  y >.  |  ps }  <->  A. x A. y ( ph  <->  ps )
)

Proof of Theorem eqopab2b
StepHypRef Expression
1 ssopab2b 4728 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y
( ph  ->  ps )
)
2 ssopab2b 4728 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  C_  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<-> 
A. x A. y
( ps  ->  ph )
)
31, 2anbi12i 711 . 2  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ph }  C_  {
<. x ,  y >.  |  ps }  /\  { <. x ,  y >.  |  ps }  C_  { <. x ,  y >.  |  ph } )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y ( ps 
->  ph ) ) )
4 eqss 3433 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =  { <. x ,  y >.  |  ps }  <->  ( { <. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps }  /\  { <. x ,  y >.  |  ps }  C_  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
5 2albiim 1761 . 2  |-  ( A. x A. y ( ph  <->  ps )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y ( ps  ->  ph ) ) )
63, 4, 53bitr4i 285 1  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =  { <. x ,  y >.  |  ps }  <->  A. x A. y ( ph  <->  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452    C_ wss 3390   {copab 4453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-opab 4455
This theorem is referenced by:  opabbi  32473  mptbi12f  32474  relexp0eq  36364
  Copyright terms: Public domain W3C validator