MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqneg Structured version   Unicode version

Theorem eqneg 10038
Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
eqneg  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =  -u A  <->  A  = 
0 ) )

Proof of Theorem eqneg
StepHypRef Expression
1 1p1times 9527 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
2 negid 9643 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
3 ax-1cn 9327 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
43, 3addcli 9377 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  e.  CC
54mul01i 9546 . . . 4  |-  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  =  0
62, 5syl6reqr 2484 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  0 )  =  ( A  +  -u A ) )
71, 6eqeq12d 2447 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 1  +  1 )  x.  A
)  =  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  <->  ( A  +  A )  =  ( A  +  -u A
) ) )
8 id 22 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
9 0cnd 9366 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  CC )
104a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  1 )  e.  CC )
11 1re 9372 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
1211, 11readdcli 9386 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  e.  RR
13 0lt1 9849 . . . . . 6  |-  0  <  1
1411, 11, 13, 13addgt0ii 9869 . . . . 5  |-  0  <  ( 1  +  1 )
1512, 14gt0ne0ii 9863 . . . 4  |-  ( 1  +  1 )  =/=  0
1615a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  1 )  =/=  0 )
178, 9, 10, 16mulcand 9956 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 1  +  1 )  x.  A
)  =  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  <->  A  = 
0 ) )
18 negcl 9597 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
198, 8, 18addcand 9559 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  A
)  =  ( A  +  -u A )  <->  A  =  -u A ) )
207, 17, 193bitr3rd 284 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =  -u A  <->  A  = 
0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596  (class class class)co 6080   CCcc 9267   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274   -ucneg 9583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585
This theorem is referenced by:  eqnegd  10039  eqnegi  10047
  Copyright terms: Public domain W3C validator