MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqneg Structured version   Unicode version

Theorem eqneg 10305
Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
eqneg  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =  -u A  <->  A  = 
0 ) )

Proof of Theorem eqneg
StepHypRef Expression
1 1p1times 9785 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
2 negid 9902 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
3 ax-1cn 9580 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
43, 3addcli 9630 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  e.  CC
54mul01i 9804 . . . 4  |-  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  =  0
62, 5syl6reqr 2462 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  0 )  =  ( A  +  -u A ) )
71, 6eqeq12d 2424 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 1  +  1 )  x.  A
)  =  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  <->  ( A  +  A )  =  ( A  +  -u A
) ) )
8 id 22 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
9 0cnd 9619 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  CC )
104a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  1 )  e.  CC )
11 1re 9625 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
1211, 11readdcli 9639 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  e.  RR
13 0lt1 10115 . . . . . 6  |-  0  <  1
1411, 11, 13, 13addgt0ii 10135 . . . . 5  |-  0  <  ( 1  +  1 )
1512, 14gt0ne0ii 10129 . . . 4  |-  ( 1  +  1 )  =/=  0
1615a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  1 )  =/=  0 )
178, 9, 10, 16mulcand 10223 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 1  +  1 )  x.  A
)  =  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  <->  A  = 
0 ) )
18 negcl 9856 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
198, 8, 18addcand 9817 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  A
)  =  ( A  +  -u A )  <->  A  =  -u A ) )
207, 17, 193bitr3rd 284 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =  -u A  <->  A  = 
0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598  (class class class)co 6278   CCcc 9520   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527   -ucneg 9842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844
This theorem is referenced by:  eqnegd  10306  eqnegi  10314
  Copyright terms: Public domain W3C validator