Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqmat Structured version   Unicode version

Theorem eqmat 30989
Description: Two square matrices of the same dimension are equal if they have the same entries. (Contributed by AV, 25-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eqmat.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
eqmat.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
Assertion
Ref Expression
eqmat  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  Y  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  ( i Y j ) ) )
Distinct variable groups:    i, N, j    i, X, j    i, Y, j
Allowed substitution hints:    A( i, j)    B( i, j)    R( i, j)

Proof of Theorem eqmat
StepHypRef Expression
1 eqmat.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2450 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqmat.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
41, 2, 3matbas2i 18418 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
5 elmapfn 7321 . . 3  |-  ( X  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  X  Fn  ( N  X.  N ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  X  Fn  ( N  X.  N
) )
71, 2, 3matbas2i 18418 . . 3  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
8 elmapfn 7321 . . 3  |-  ( Y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N ) )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  Fn  ( N  X.  N
) )
10 eqfnov2 6283 . 2  |-  ( ( X  Fn  ( N  X.  N )  /\  Y  Fn  ( N  X.  N ) )  -> 
( X  =  Y  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  ( i Y j ) ) )
116, 9, 10syl2an 477 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  Y  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i X j )  =  ( i Y j ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757   A.wral 2792    X. cxp 4922    Fn wfn 5497   ` cfv 5502  (class class class)co 6176    ^m cmap 7300   Basecbs 14262   Mat cmat 18375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-ot 3970  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-sup 7778  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-fz 11525  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-ip 14344  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-hom 14350  df-cco 14351  df-0g 14468  df-prds 14474  df-pws 14476  df-sra 17345  df-rgmod 17346  df-dsmm 18252  df-frlm 18267  df-mat 18377
This theorem is referenced by:  scmatscmid  30997  mat2pmatf1  31178  mat2pmat1  31181  mat2pmatlin  31184  m2pminv  31197  m2pminv2  31199  pmatcollpw1dst  31214  pmatcollpwfsupp  31215  pmatcollpw1  31218  monmatcollpw  31222  pmatcollpw3  31224  pmatcollpwscmatlem3  31233  mp2pm2mplem4  31250  pmattomply1f1  31253
  Copyright terms: Public domain W3C validator