Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr4 Structured version   Unicode version

Theorem eqlkr4 32833
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr4.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
eqlkr4.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
eqlkr4.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr4.k  |-  K  =  (LKer `  W )
eqlkr4.d  |-  D  =  (LDual `  W )
eqlkr4.t  |-  .x.  =  ( .s `  D )
eqlkr4.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
eqlkr4.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
eqlkr4.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
eqlkr4.e  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )
Assertion
Ref Expression
eqlkr4  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  H  =  ( r  .x.  G ) )
Distinct variable groups:    F, r    G, r    H, r    K, r    R, r    S, r    W, r    ph, r
Allowed substitution hints:    D( r)    .x. ( r)

Proof of Theorem eqlkr4
StepHypRef Expression
1 eqlkr4.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 eqlkr4.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
3 eqlkr4.h . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
4 eqlkr4.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )
5 eqlkr4.s . . . 4  |-  S  =  (Scalar `  W )
6 eqlkr4.r . . . 4  |-  R  =  ( Base `  S
)
7 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
8 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
9 eqlkr4.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
10 eqlkr4.k . . . 4  |-  K  =  (LKer `  W )
115, 6, 7, 8, 9, 10eqlkr2 32768 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )  ->  E. r  e.  R  H  =  ( G  oF ( .r
`  S ) ( ( Base `  W
)  X.  { r } ) ) )
121, 2, 3, 4, 11syl121anc 1223 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  H  =  ( G  oF ( .r
`  S ) ( ( Base `  W
)  X.  { r } ) ) )
13 eqlkr4.d . . . . 5  |-  D  =  (LDual `  W )
14 eqlkr4.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  D )
151adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  W  e.  LVec )
16 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  r  e.  R )
172adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  G  e.  F )
189, 8, 5, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17ldualvs 32805 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
r  .x.  G )  =  ( G  oF ( .r `  S ) ( (
Base `  W )  X.  { r } ) ) )
1918eqeq2d 2454 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( H  =  ( r  .x.  G )  <->  H  =  ( G  oF
( .r `  S
) ( ( Base `  W )  X.  {
r } ) ) ) )
2019rexbidva 2751 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  H  =  ( r  .x.  G )  <->  E. r  e.  R  H  =  ( G  oF ( .r
`  S ) ( ( Base `  W
)  X.  { r } ) ) ) )
2112, 20mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  H  =  ( r  .x.  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2735   {csn 3896    X. cxp 4857   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    oFcof 6337   Basecbs 14193   .rcmulr 14258  Scalarcsca 14260   .scvsca 14261   LVecclvec 17202  LFnlclfn 32725  LKerclk 32753  LDualcld 32791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-tpos 6764  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-fz 11457  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-0g 14399  df-mnd 15434  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-sbg 15566  df-cmn 16298  df-abl 16299  df-mgp 16611  df-ur 16623  df-rng 16666  df-oppr 16734  df-dvdsr 16752  df-unit 16753  df-invr 16783  df-drng 16853  df-lmod 16969  df-lvec 17203  df-lfl 32726  df-lkr 32754  df-ldual 32792
This theorem is referenced by:  lkrss2N  32837  lcfrlem16  35226  mapdrvallem2  35313
  Copyright terms: Public domain W3C validator