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Theorem eqlkr3 34254
Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
eqlkr3.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
eqlkr3.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
eqlkr3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
eqlkr3.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr3.k  |-  K  =  (LKer `  W )
eqlkr3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
eqlkr3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
eqlkr3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
eqlkr3.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
eqlkr3.e  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )
eqlkr3.a  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
eqlkr3.n  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
eqlkr3  |-  ( ph  ->  G  =  H )

Proof of Theorem eqlkr3
Dummy variables  x  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 eqlkr3.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
3 eqlkr3.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  W )
4 eqlkr3.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  S
)
5 eqlkr3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 eqlkr3.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
73, 4, 5, 6lflf 34216 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> R )
81, 2, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  G : V --> R )
9 ffn 5737 . . 3  |-  ( G : V --> R  ->  G  Fn  V )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  Fn  V )
11 eqlkr3.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
123, 4, 5, 6lflf 34216 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F )  ->  H : V --> R )
131, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  H : V --> R )
14 ffn 5737 . . 3  |-  ( H : V --> R  ->  H  Fn  V )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  H  Fn  V )
16 eqlkr3.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )
17 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
18 eqlkr3.k . . . . . . . 8  |-  K  =  (LKer `  W )
193, 4, 17, 5, 6, 18eqlkr 34252 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) )
201, 2, 11, 16, 19syl121anc 1233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) )
21 eqlkr3.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2221adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  X  e.  V )
23 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  ( H `  x )  =  ( H `  X ) )
24 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  x )  =  ( G `  X ) )
2524oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) r )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )
2623, 25eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) ( .r `  S
) r )  <->  ( H `  X )  =  ( ( G `  X
) ( .r `  S ) r ) ) )
2726rspcv 3215 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) ) )
2822, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) ) )
29 eqlkr3.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  =  ( H `  X ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( H `  X
)  =  ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )
3331, 32eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( G `  X ) ( .r
`  S ) r )  =  ( G `
 X ) )
3433oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )  =  ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( G `  X ) ) )
353lvecdrng 17622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LVec  ->  S  e.  DivRing )
361, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S  e.  DivRing )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  S  e.  DivRing )
383, 4, 5, 6lflcl 34217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  R )
391, 2, 21, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  R )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  e.  R )
41 eqlkr3.n . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  .0.  )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  =/=  .0.  )
43 eqlkr3.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
44 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
45 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( invr `  S )  =  (
invr `  S )
464, 43, 17, 44, 45drnginvrl 17286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  R  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( G `  X
) )  =  ( 1r `  S ) )
4737, 40, 42, 46syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( G `  X
) )  =  ( 1r `  S ) )
4847oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) ) ( .r `  S
) r )  =  ( ( 1r `  S ) ( .r
`  S ) r ) )
49 lveclmod 17623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
501, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
513lmodring 17391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e. 
Ring )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  S  e.  Ring )
544, 43, 45drnginvrcl 17284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  R  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  (
( invr `  S ) `  ( G `  X
) )  e.  R
)
5537, 40, 42, 54syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( invr `  S ) `  ( G `  X
) )  e.  R
)
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  r  e.  R )
574, 17ringass 17087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) )  e.  R  /\  ( G `
 X )  e.  R  /\  r  e.  R ) )  -> 
( ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( G `  X ) ) ( .r `  S ) r )  =  ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( ( G `  X
) ( .r `  S ) r ) ) )
5853, 55, 40, 56, 57syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) ) ( .r `  S
) r )  =  ( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) ) )
594, 17, 44ringlidm 17094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  r  e.  R )  ->  (
( 1r `  S
) ( .r `  S ) r )  =  r )
6053, 56, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( 1r `  S
) ( .r `  S ) r )  =  r )
6148, 58, 603eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r
`  S ) r ) )  =  r )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )  =  r )
6347adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) )  =  ( 1r `  S ) )
6434, 62, 633eqtr3d 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
r  =  ( 1r
`  S ) )
6564ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( H `  X
)  =  ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r )  -> 
r  =  ( 1r
`  S ) ) )
6628, 65syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  r  =  ( 1r `  S ) ) )
6766ancrd 554 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  (
r  =  ( 1r
`  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) ) ) )
6867reximdva 2942 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r )  ->  E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) ) ) )
6920, 68mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) ) )
704, 44ringidcl 17091 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  R )
7152, 70syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  R )
72 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) r )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7372eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) ( .r `  S
) r )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) ) ) )
7473ralbidv 2906 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) ) ) )
7574ceqsrexv 3242 . . . . . 6  |-  ( ( 1r `  S )  e.  R  ->  ( E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) ) )
7671, 75syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S
)  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) ) )
7769, 76mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7877r19.21bi 2836 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7950adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
8079, 51syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  S  e.  Ring )
811adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
822adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  G  e.  F )
83 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
843, 4, 5, 6lflcl 34217 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  R )
8581, 82, 83, 84syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  R )
864, 17, 44ringridm 17095 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( G `  x )  e.  R )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) )  =  ( G `  x ) )
8780, 85, 86syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) )  =  ( G `  x ) )
8878, 87eqtr2d 2509 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  =  ( H `  x ) )
8910, 15, 88eqfnfvd 5985 1  |-  ( ph  ->  G  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   .rcmulr 14573  Scalarcsca 14575   0gc0g 14712   1rcur 17025   Ringcrg 17070   invrcinvr 17192   DivRingcdr 17267   LModclmod 17383   LVecclvec 17619  LFnlclfn 34210  LKerclk 34238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lvec 17620  df-lfl 34211  df-lkr 34239
This theorem is referenced by:  lcfl6lem  36651
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