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Theorem eqlkr3 34560
Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
eqlkr3.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
eqlkr3.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
eqlkr3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
eqlkr3.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr3.k  |-  K  =  (LKer `  W )
eqlkr3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
eqlkr3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
eqlkr3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
eqlkr3.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
eqlkr3.e  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )
eqlkr3.a  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
eqlkr3.n  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
eqlkr3  |-  ( ph  ->  G  =  H )

Proof of Theorem eqlkr3
Dummy variables  x  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 eqlkr3.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
3 eqlkr3.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  W )
4 eqlkr3.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  S
)
5 eqlkr3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 eqlkr3.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
73, 4, 5, 6lflf 34522 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> R )
81, 2, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  G : V --> R )
9 ffn 5721 . . 3  |-  ( G : V --> R  ->  G  Fn  V )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  Fn  V )
11 eqlkr3.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
123, 4, 5, 6lflf 34522 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F )  ->  H : V --> R )
131, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  H : V --> R )
14 ffn 5721 . . 3  |-  ( H : V --> R  ->  H  Fn  V )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  H  Fn  V )
16 eqlkr3.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )
17 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
18 eqlkr3.k . . . . . . . 8  |-  K  =  (LKer `  W )
193, 4, 17, 5, 6, 18eqlkr 34558 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) )
201, 2, 11, 16, 19syl121anc 1234 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) )
21 eqlkr3.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2221adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  X  e.  V )
23 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  ( H `  x )  =  ( H `  X ) )
24 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  x )  =  ( G `  X ) )
2524oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) r )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )
2623, 25eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) ( .r `  S
) r )  <->  ( H `  X )  =  ( ( G `  X
) ( .r `  S ) r ) ) )
2726rspcv 3192 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) ) )
2822, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) ) )
29 eqlkr3.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  =  ( H `  X ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( H `  X
)  =  ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )
3331, 32eqtr2d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( G `  X ) ( .r
`  S ) r )  =  ( G `
 X ) )
3433oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )  =  ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( G `  X ) ) )
353lvecdrng 17625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LVec  ->  S  e.  DivRing )
361, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S  e.  DivRing )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  S  e.  DivRing )
383, 4, 5, 6lflcl 34523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  R )
391, 2, 21, 38syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  R )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  e.  R )
41 eqlkr3.n . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  .0.  )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  =/=  .0.  )
43 eqlkr3.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
44 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
45 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( invr `  S )  =  (
invr `  S )
464, 43, 17, 44, 45drnginvrl 17289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  R  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( G `  X
) )  =  ( 1r `  S ) )
4737, 40, 42, 46syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( G `  X
) )  =  ( 1r `  S ) )
4847oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) ) ( .r `  S
) r )  =  ( ( 1r `  S ) ( .r
`  S ) r ) )
49 lveclmod 17626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
501, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
513lmodring 17394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e. 
Ring )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  S  e.  Ring )
544, 43, 45drnginvrcl 17287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  R  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  (
( invr `  S ) `  ( G `  X
) )  e.  R
)
5537, 40, 42, 54syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( invr `  S ) `  ( G `  X
) )  e.  R
)
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  r  e.  R )
574, 17ringass 17089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) )  e.  R  /\  ( G `
 X )  e.  R  /\  r  e.  R ) )  -> 
( ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( G `  X ) ) ( .r `  S ) r )  =  ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( ( G `  X
) ( .r `  S ) r ) ) )
5853, 55, 40, 56, 57syl13anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) ) ( .r `  S
) r )  =  ( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) ) )
594, 17, 44ringlidm 17096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  r  e.  R )  ->  (
( 1r `  S
) ( .r `  S ) r )  =  r )
6053, 56, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( 1r `  S
) ( .r `  S ) r )  =  r )
6148, 58, 603eqtr3d 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r
`  S ) r ) )  =  r )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )  =  r )
6347adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) )  =  ( 1r `  S ) )
6434, 62, 633eqtr3d 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
r  =  ( 1r
`  S ) )
6564ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( H `  X
)  =  ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r )  -> 
r  =  ( 1r
`  S ) ) )
6628, 65syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  r  =  ( 1r `  S ) ) )
6766ancrd 554 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  (
r  =  ( 1r
`  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) ) ) )
6867reximdva 2918 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r )  ->  E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) ) ) )
6920, 68mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) ) )
704, 44ringidcl 17093 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  R )
7152, 70syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  R )
72 oveq2 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) r )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7372eqeq2d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) ( .r `  S
) r )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) ) ) )
7473ralbidv 2882 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) ) ) )
7574ceqsrexv 3219 . . . . . 6  |-  ( ( 1r `  S )  e.  R  ->  ( E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) ) )
7671, 75syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S
)  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) ) )
7769, 76mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7877r19.21bi 2812 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7950adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
8079, 51syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  S  e.  Ring )
811adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
822adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  G  e.  F )
83 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
843, 4, 5, 6lflcl 34523 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  R )
8581, 82, 83, 84syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  R )
864, 17, 44ringridm 17097 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( G `  x )  e.  R )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) )  =  ( G `  x ) )
8780, 85, 86syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) )  =  ( G `  x ) )
8878, 87eqtr2d 2485 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  =  ( H `  x ) )
8910, 15, 88eqfnfvd 5969 1  |-  ( ph  ->  G  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   .rcmulr 14575  Scalarcsca 14577   0gc0g 14714   1rcur 17027   Ringcrg 17072   invrcinvr 17194   DivRingcdr 17270   LModclmod 17386   LVecclvec 17622  LFnlclfn 34516  LKerclk 34544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-drng 17272  df-lmod 17388  df-lvec 17623  df-lfl 34517  df-lkr 34545
This theorem is referenced by:  lcfl6lem  36959
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