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Theorem eqlkr3 35239
Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
eqlkr3.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
eqlkr3.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
eqlkr3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
eqlkr3.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr3.k  |-  K  =  (LKer `  W )
eqlkr3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
eqlkr3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
eqlkr3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
eqlkr3.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
eqlkr3.e  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )
eqlkr3.a  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
eqlkr3.n  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
eqlkr3  |-  ( ph  ->  G  =  H )

Proof of Theorem eqlkr3
Dummy variables  x  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 eqlkr3.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
3 eqlkr3.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  W )
4 eqlkr3.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  S
)
5 eqlkr3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 eqlkr3.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
73, 4, 5, 6lflf 35201 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> R )
81, 2, 7syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  G : V --> R )
9 ffn 5639 . . 3  |-  ( G : V --> R  ->  G  Fn  V )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  Fn  V )
11 eqlkr3.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
123, 4, 5, 6lflf 35201 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F )  ->  H : V --> R )
131, 11, 12syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  H : V --> R )
14 ffn 5639 . . 3  |-  ( H : V --> R  ->  H  Fn  V )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  H  Fn  V )
16 eqlkr3.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )
17 eqid 2382 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
18 eqlkr3.k . . . . . . . 8  |-  K  =  (LKer `  W )
193, 4, 17, 5, 6, 18eqlkr 35237 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) )
201, 2, 11, 16, 19syl121anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) )
21 eqlkr3.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2221adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  X  e.  V )
23 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  ( H `  x )  =  ( H `  X ) )
24 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  x )  =  ( G `  X ) )
2524oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) r )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )
2623, 25eqeq12d 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) ( .r `  S
) r )  <->  ( H `  X )  =  ( ( G `  X
) ( .r `  S ) r ) ) )
2726rspcv 3131 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) ) )
2822, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) ) )
29 eqlkr3.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
3029adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  =  ( H `  X ) )
3130adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
32 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( H `  X
)  =  ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )
3331, 32eqtr2d 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( G `  X ) ( .r
`  S ) r )  =  ( G `
 X ) )
3433oveq2d 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )  =  ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( G `  X ) ) )
353lvecdrng 17864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LVec  ->  S  e.  DivRing )
361, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S  e.  DivRing )
3736adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  S  e.  DivRing )
383, 4, 5, 6lflcl 35202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  R )
391, 2, 21, 38syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  R )
4039adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  e.  R )
41 eqlkr3.n . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  .0.  )
4241adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  =/=  .0.  )
43 eqlkr3.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
44 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
45 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( invr `  S )  =  (
invr `  S )
464, 43, 17, 44, 45drnginvrl 17528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  R  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( G `  X
) )  =  ( 1r `  S ) )
4737, 40, 42, 46syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( G `  X
) )  =  ( 1r `  S ) )
4847oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) ) ( .r `  S
) r )  =  ( ( 1r `  S ) ( .r
`  S ) r ) )
49 lveclmod 17865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
501, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
513lmodring 17633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e. 
Ring )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
5352adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  S  e.  Ring )
544, 43, 45drnginvrcl 17526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  R  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  (
( invr `  S ) `  ( G `  X
) )  e.  R
)
5537, 40, 42, 54syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( invr `  S ) `  ( G `  X
) )  e.  R
)
56 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  r  e.  R )
574, 17ringass 17328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) )  e.  R  /\  ( G `
 X )  e.  R  /\  r  e.  R ) )  -> 
( ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( G `  X ) ) ( .r `  S ) r )  =  ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( ( G `  X
) ( .r `  S ) r ) ) )
5853, 55, 40, 56, 57syl13anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) ) ( .r `  S
) r )  =  ( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) ) )
594, 17, 44ringlidm 17335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  r  e.  R )  ->  (
( 1r `  S
) ( .r `  S ) r )  =  r )
6053, 56, 59syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( 1r `  S
) ( .r `  S ) r )  =  r )
6148, 58, 603eqtr3d 2431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r
`  S ) r ) )  =  r )
6261adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )  =  r )
6347adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) )  =  ( 1r `  S ) )
6434, 62, 633eqtr3d 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
r  =  ( 1r
`  S ) )
6564ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( H `  X
)  =  ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r )  -> 
r  =  ( 1r
`  S ) ) )
6628, 65syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  r  =  ( 1r `  S ) ) )
6766ancrd 552 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  (
r  =  ( 1r
`  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) ) ) )
6867reximdva 2857 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r )  ->  E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) ) ) )
6920, 68mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) ) )
704, 44ringidcl 17332 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  R )
7152, 70syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  R )
72 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) r )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7372eqeq2d 2396 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) ( .r `  S
) r )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) ) ) )
7473ralbidv 2821 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) ) ) )
7574ceqsrexv 3158 . . . . . 6  |-  ( ( 1r `  S )  e.  R  ->  ( E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) ) )
7671, 75syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S
)  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) ) )
7769, 76mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7877r19.21bi 2751 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7950adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
8079, 51syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  S  e.  Ring )
811adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
822adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  G  e.  F )
83 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
843, 4, 5, 6lflcl 35202 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  R )
8581, 82, 83, 84syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  R )
864, 17, 44ringridm 17336 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( G `  x )  e.  R )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) )  =  ( G `  x ) )
8780, 85, 86syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) )  =  ( G `  x ) )
8878, 87eqtr2d 2424 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  =  ( H `  x ) )
8910, 15, 88eqfnfvd 5886 1  |-  ( ph  ->  G  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   .rcmulr 14703  Scalarcsca 14705   0gc0g 14847   1rcur 17266   Ringcrg 17311   invrcinvr 17433   DivRingcdr 17509   LModclmod 17625   LVecclvec 17861  LFnlclfn 35195  LKerclk 35223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-drng 17511  df-lmod 17627  df-lvec 17862  df-lfl 35196  df-lkr 35224
This theorem is referenced by:  lcfl6lem  37638
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