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Theorem eqlkr3 32751
Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
eqlkr3.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
eqlkr3.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
eqlkr3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
eqlkr3.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr3.k  |-  K  =  (LKer `  W )
eqlkr3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
eqlkr3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
eqlkr3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
eqlkr3.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
eqlkr3.e  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )
eqlkr3.a  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
eqlkr3.n  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
eqlkr3  |-  ( ph  ->  G  =  H )

Proof of Theorem eqlkr3
Dummy variables  x  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 eqlkr3.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
3 eqlkr3.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  W )
4 eqlkr3.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  S
)
5 eqlkr3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 eqlkr3.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
73, 4, 5, 6lflf 32713 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> R )
81, 2, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  G : V --> R )
9 ffn 5564 . . 3  |-  ( G : V --> R  ->  G  Fn  V )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  Fn  V )
11 eqlkr3.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
123, 4, 5, 6lflf 32713 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F )  ->  H : V --> R )
131, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  H : V --> R )
14 ffn 5564 . . 3  |-  ( H : V --> R  ->  H  Fn  V )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  H  Fn  V )
16 eqlkr3.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )
17 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
18 eqlkr3.k . . . . . . . 8  |-  K  =  (LKer `  W )
193, 4, 17, 5, 6, 18eqlkr 32749 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) )
201, 2, 11, 16, 19syl121anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) )
21 eqlkr3.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2221adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  X  e.  V )
23 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  ( H `  x )  =  ( H `  X ) )
24 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  x )  =  ( G `  X ) )
2524oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) r )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )
2623, 25eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) ( .r `  S
) r )  <->  ( H `  X )  =  ( ( G `  X
) ( .r `  S ) r ) ) )
2726rspcv 3074 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) ) )
2822, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) ) )
29 eqlkr3.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  =  ( H `  X ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( H `  X
)  =  ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )
3331, 32eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( G `  X ) ( .r
`  S ) r )  =  ( G `
 X ) )
3433oveq2d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )  =  ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( G `  X ) ) )
353lvecdrng 17191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LVec  ->  S  e.  DivRing )
361, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S  e.  DivRing )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  S  e.  DivRing )
383, 4, 5, 6lflcl 32714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  R )
391, 2, 21, 38syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  R )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  e.  R )
41 eqlkr3.n . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  .0.  )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  =/=  .0.  )
43 eqlkr3.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
44 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
45 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( invr `  S )  =  (
invr `  S )
464, 43, 17, 44, 45drnginvrl 16856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  R  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( G `  X
) )  =  ( 1r `  S ) )
4737, 40, 42, 46syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( G `  X
) )  =  ( 1r `  S ) )
4847oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) ) ( .r `  S
) r )  =  ( ( 1r `  S ) ( .r
`  S ) r ) )
49 lveclmod 17192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
501, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
513lmodrng 16961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e. 
Ring )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  S  e.  Ring )
544, 43, 45drnginvrcl 16854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  R  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  (
( invr `  S ) `  ( G `  X
) )  e.  R
)
5537, 40, 42, 54syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( invr `  S ) `  ( G `  X
) )  e.  R
)
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  r  e.  R )
574, 17rngass 16666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) )  e.  R  /\  ( G `
 X )  e.  R  /\  r  e.  R ) )  -> 
( ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( G `  X ) ) ( .r `  S ) r )  =  ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( ( G `  X
) ( .r `  S ) r ) ) )
5853, 55, 40, 56, 57syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) ) ( .r `  S
) r )  =  ( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) ) )
594, 17, 44rnglidm 16673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  r  e.  R )  ->  (
( 1r `  S
) ( .r `  S ) r )  =  r )
6053, 56, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( 1r `  S
) ( .r `  S ) r )  =  r )
6148, 58, 603eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r
`  S ) r ) )  =  r )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )  =  r )
6347adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) )  =  ( 1r `  S ) )
6434, 62, 633eqtr3d 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
r  =  ( 1r
`  S ) )
6564ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( H `  X
)  =  ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r )  -> 
r  =  ( 1r
`  S ) ) )
6628, 65syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  r  =  ( 1r `  S ) ) )
6766ancrd 554 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  (
r  =  ( 1r
`  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) ) ) )
6867reximdva 2833 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r )  ->  E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) ) ) )
6920, 68mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) ) )
704, 44rngidcl 16670 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  R )
7152, 70syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  R )
72 oveq2 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) r )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7372eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) ( .r `  S
) r )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) ) ) )
7473ralbidv 2740 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) ) ) )
7574ceqsrexv 3098 . . . . . 6  |-  ( ( 1r `  S )  e.  R  ->  ( E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) ) )
7671, 75syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S
)  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) ) )
7769, 76mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7877r19.21bi 2819 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7950adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
8079, 51syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  S  e.  Ring )
811adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
822adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  G  e.  F )
83 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
843, 4, 5, 6lflcl 32714 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  R )
8581, 82, 83, 84syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  R )
864, 17, 44rngridm 16674 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( G `  x )  e.  R )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) )  =  ( G `  x ) )
8780, 85, 86syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) )  =  ( G `  x ) )
8878, 87eqtr2d 2476 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  =  ( H `  x ) )
8910, 15, 88eqfnfvd 5805 1  |-  ( ph  ->  G  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   .rcmulr 14244  Scalarcsca 14246   0gc0g 14383   1rcur 16608   Ringcrg 16650   invrcinvr 16768   DivRingcdr 16837   LModclmod 16953   LVecclvec 17188  LFnlclfn 32707  LKerclk 32735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-drng 16839  df-lmod 16955  df-lvec 17189  df-lfl 32708  df-lkr 32736
This theorem is referenced by:  lcfl6lem  35148
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