Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr2 Structured version   Unicode version

Theorem eqlkr2 34298
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
eqlkr.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
eqlkr.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
eqlkr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
eqlkr.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr.l  |-  L  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
eqlkr2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  H  =  ( G  oF  .x.  ( V  X.  { r } ) ) )
Distinct variable groups:    D, r    G, r    H, r    V, r    K, r    .x. , r    F, r    L, r    W, r

Proof of Theorem eqlkr2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr.d . . 3  |-  D  =  (Scalar `  W )
2 eqlkr.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  D
)
3 eqlkr.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  D )
4 eqlkr.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqlkr.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  W )
6 eqlkr.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  W )
71, 2, 3, 4, 5, 6eqlkr 34297 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
8 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  e.  _V
94, 8eqeltri 2551 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  V  e.  _V )
11 simpl1 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  W  e.  LVec )
12 simpl2l 1049 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  G  e.  F )
131, 2, 4, 5lflf 34261 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
1411, 12, 13syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  G : V --> K )
15 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( G : V --> K  ->  G  Fn  V )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  G  Fn  V )
17 vex 3121 . . . . 5  |-  r  e. 
_V
18 fnconstg 5779 . . . . 5  |-  ( r  e.  _V  ->  ( V  X.  { r } )  Fn  V )
1917, 18mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  ( V  X.  { r } )  Fn  V )
20 simpl2r 1050 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  H  e.  F )
211, 2, 4, 5lflf 34261 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F )  ->  H : V --> K )
2211, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  H : V --> K )
23 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( H : V --> K  ->  H  Fn  V )
2422, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  H  Fn  V )
25 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
2617fvconst2 6127 . . . . 5  |-  ( x  e.  V  ->  (
( V  X.  {
r } ) `  x )  =  r )
2726adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( V  X.  { r } ) `  x )  =  r )
2810, 16, 19, 24, 25, 27offveqb 6557 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  ( H  =  ( G  oF  .x.  ( V  X.  { r } ) )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
) )
2928rexbidva 2975 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  ( E. r  e.  K  H  =  ( G  oF  .x.  ( V  X.  {
r } ) )  <->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) ) )
307, 29mpbird 232 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  H  =  ( G  oF  .x.  ( V  X.  { r } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   {csn 4033    X. cxp 5003    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533   Basecbs 14507   .rcmulr 14573  Scalarcsca 14575   LVecclvec 17619  LFnlclfn 34255  LKerclk 34283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lvec 17620  df-lfl 34256  df-lkr 34284
This theorem is referenced by:  lfl1dim  34319  lfl1dim2N  34320  eqlkr4  34363
  Copyright terms: Public domain W3C validator