Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr2 Structured version   Unicode version

Theorem eqlkr2 33103
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
eqlkr.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
eqlkr.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
eqlkr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
eqlkr.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr.l  |-  L  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
eqlkr2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  H  =  ( G  oF  .x.  ( V  X.  { r } ) ) )
Distinct variable groups:    D, r    G, r    H, r    V, r    K, r    .x. , r    F, r    L, r    W, r

Proof of Theorem eqlkr2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr.d . . 3  |-  D  =  (Scalar `  W )
2 eqlkr.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  D
)
3 eqlkr.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  D )
4 eqlkr.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqlkr.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  W )
6 eqlkr.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  W )
71, 2, 3, 4, 5, 6eqlkr 33102 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
8 fvex 5812 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  e.  _V
94, 8eqeltri 2538 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  V  e.  _V )
11 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  W  e.  LVec )
12 simpl2l 1041 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  G  e.  F )
131, 2, 4, 5lflf 33066 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
1411, 12, 13syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  G : V --> K )
15 ffn 5670 . . . . 5  |-  ( G : V --> K  ->  G  Fn  V )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  G  Fn  V )
17 vex 3081 . . . . 5  |-  r  e. 
_V
18 fnconstg 5709 . . . . 5  |-  ( r  e.  _V  ->  ( V  X.  { r } )  Fn  V )
1917, 18mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  ( V  X.  { r } )  Fn  V )
20 simpl2r 1042 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  H  e.  F )
211, 2, 4, 5lflf 33066 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F )  ->  H : V --> K )
2211, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  H : V --> K )
23 ffn 5670 . . . . 5  |-  ( H : V --> K  ->  H  Fn  V )
2422, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  H  Fn  V )
25 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
2617fvconst2 6045 . . . . 5  |-  ( x  e.  V  ->  (
( V  X.  {
r } ) `  x )  =  r )
2726adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( V  X.  { r } ) `  x )  =  r )
2810, 16, 19, 24, 25, 27offveqb 6455 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  ( H  =  ( G  oF  .x.  ( V  X.  { r } ) )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
) )
2928rexbidva 2865 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  ( E. r  e.  K  H  =  ( G  oF  .x.  ( V  X.  {
r } ) )  <->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) ) )
307, 29mpbird 232 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  H  =  ( G  oF  .x.  ( V  X.  { r } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   {csn 3988    X. cxp 4949    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oFcof 6431   Basecbs 14295   .rcmulr 14361  Scalarcsca 14363   LVecclvec 17309  LFnlclfn 33060  LKerclk 33088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-oppr 16841  df-dvdsr 16859  df-unit 16860  df-invr 16890  df-drng 16960  df-lmod 17076  df-lvec 17310  df-lfl 33061  df-lkr 33089
This theorem is referenced by:  lfl1dim  33124  lfl1dim2N  33125  eqlkr4  33168
  Copyright terms: Public domain W3C validator