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Theorem eqlkr 33905
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
eqlkr.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
eqlkr.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
eqlkr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
eqlkr.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr.l  |-  L  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
eqlkr  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
Distinct variable groups:    x, r, D    x, F    G, r, x    H, r, x    V, r, x    K, r    x, L    .x. , r    x, W
Allowed substitution hints:    .x. ( x)    F( r)    K( x)    L( r)    W( r)

Proof of Theorem eqlkr
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17547 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
3 eqlkr.d . . . . . . 7  |-  D  =  (Scalar `  W )
43lmodrng 17315 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
52, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e. 
Ring )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  D  e.  Ring )
7 eqlkr.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  D
)
8 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
97, 8rngidcl 17015 . . . 4  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( 1r
`  D )  e.  K )
106, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  ( 1r `  D )  e.  K
)
11 simp11 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
1211, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  D  e.  Ring )
13 simp12l 1109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  G  e.  F )
14 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
15 eqlkr.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
16 eqlkr.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (LFnl `  W )
173, 7, 15, 16lflcl 33870 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  K )
1811, 13, 14, 17syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x
)  e.  K )
19 eqlkr.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  D )
207, 19, 8rngridm 17019 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  x )  e.  K )  ->  (
( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) )  =  ( G `  x
) )
2112, 18, 20syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( 1r `  D ) )  =  ( G `  x ) )
22 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  G  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) )
23 simp13 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )
2411, 2syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
25 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
26 eqlkr.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  (LKer `  W )
273, 25, 15, 16, 26lkr0f 33900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( L `  G
)  =  V  <->  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } ) ) )
2824, 13, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( L `  G )  =  V  <-> 
G  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) ) )
2922, 28mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  G
)  =  V )
3023, 29eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  H
)  =  V )
31 simp12r 1110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  H  e.  F )
323, 25, 15, 16, 26lkr0f 33900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F )  ->  (
( L `  H
)  =  V  <->  H  =  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } ) ) )
3324, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( L `  H )  =  V  <-> 
H  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) ) )
3430, 33mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  H  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) )
3522, 34eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  G  =  H )
3635fveq1d 5867 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x
)  =  ( H `
 x ) )
3721, 36eqtr2d 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) 
.x.  ( 1r `  D ) ) )
38373expia 1198 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) ) )
3938ralrimiv 2876 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( 1r `  D ) ) )
40 oveq2 6291 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( 1r `  D )  ->  (
( G `  x
)  .x.  r )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( 1r `  D ) ) )
4140eqeq2d 2481 . . . . 5  |-  ( r  =  ( 1r `  D )  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) 
.x.  r )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) ) )
4241ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( r  =  ( 1r `  D )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) ) )
4342rspcev 3214 . . 3  |-  ( ( ( 1r `  D
)  e.  K  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( 1r `  D ) ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
)
4410, 39, 43syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
45 simpl1 999 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  W  e.  LVec )
46 simpl2l 1049 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  G  e.  F
)
47 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) )
483, 25, 8, 15, 16lfl1 33876 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  E. z  e.  V  ( G `  z )  =  ( 1r `  D ) )
4945, 46, 47, 48syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  E. z  e.  V  ( G `  z )  =  ( 1r `  D ) )
50 simpl1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  W  e.  LVec )
51 simpl2r 1050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  H  e.  F )
52 simpr2 1003 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  z  e.  V )
533, 7, 15, 16lflcl 33870 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F  /\  z  e.  V )  ->  ( H `  z )  e.  K )
5450, 51, 52, 53syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  ( H `  z )  e.  K
)
55 simp11 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  W  e.  LVec )
5655, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  W  e.  LMod )
57 simp12r 1110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  H  e.  F )
58 simp12l 1109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  G  e.  F )
59 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  x  e.  V )
603, 7, 15, 16lflcl 33870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  K )
6156, 58, 59, 60syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  x )  e.  K
)
62 simp22 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  z  e.  V )
63 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
643, 7, 19, 15, 63, 16lflmul 33874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
( G `  x
)  e.  K  /\  z  e.  V )
)  ->  ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
6556, 57, 61, 62, 64syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
6665oveq2d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( H `  x )
( -g `  D ) ( H `  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z ) ) )  =  ( ( H `  x
) ( -g `  D
) ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) ) )
6715, 3, 63, 7lmodvscl 17324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( G `  x )  e.  K  /\  z  e.  V )  ->  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z )  e.  V )
6856, 61, 62, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )
( .s `  W
) z )  e.  V )
69 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -g `  D )  =  (
-g `  D )
70 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
713, 69, 15, 70, 16lflsub 33873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
x  e.  V  /\  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z )  e.  V ) )  ->  ( H `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( H `  x ) ( -g `  D
) ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7256, 57, 59, 68, 71syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( H `  x ) ( -g `  D
) ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7315, 70lmodvsubcl 17350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  V  /\  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z )  e.  V )  -> 
( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) )  e.  V )
7456, 59, 68, 73syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( x
( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  e.  V
)
753, 69, 15, 70, 16lflsub 33873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
x  e.  V  /\  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z )  e.  V ) )  ->  ( G `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( G `  x ) ( -g `  D
) ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7656, 58, 59, 68, 75syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( G `  x ) ( -g `  D
) ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7755, 58, 59, 17syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  x )  e.  K
)
783, 7, 19, 15, 63, 16lflmul 33874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( G `  x
)  e.  K  /\  z  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( G `  z ) ) )
7956, 58, 77, 62, 78syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( G `  z ) ) )
80 simp23 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  z )  =  ( 1r `  D ) )
8180oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( G `  z
) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) )
8255, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  D  e.  Ring )
8382, 77, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( 1r `  D
) )  =  ( G `  x ) )
8479, 81, 833eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( G `  x ) )
8584oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )
( -g `  D ) ( G `  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z ) ) )  =  ( ( G `  x
) ( -g `  D
) ( G `  x ) ) )
863lmodfgrp 17316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Grp )
872, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e. 
Grp )
8855, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  D  e.  Grp )
897, 25, 69grpsubid 15929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  x )  e.  K )  -> 
( ( G `  x ) ( -g `  D ) ( G `
 x ) )  =  ( 0g `  D ) )
9088, 77, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )
( -g `  D ) ( G `  x
) )  =  ( 0g `  D ) )
9176, 85, 903eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( 0g
`  D ) )
9215, 3, 25, 16, 26ellkr 33895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  (
( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) )  e.  ( L `  G )  <->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( G `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9355, 58, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  ( L `  G
)  <->  ( ( x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( G `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9474, 91, 93mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( x
( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  e.  ( L `  G ) )
95 simp13 1028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )
9694, 95eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( x
( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  e.  ( L `  H ) )
9715, 3, 25, 16, 26ellkr 33895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F )  ->  (
( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) )  e.  ( L `  H )  <->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( H `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9855, 57, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  ( L `  H
)  <->  ( ( x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( H `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9996, 98mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( H `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) )
10099simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( 0g
`  D ) )
10172, 100eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( H `  x )
( -g `  D ) ( H `  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D ) )
10266, 101eqtr3d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( H `  x )
( -g `  D ) ( ( G `  x )  .x.  ( H `  z )
) )  =  ( 0g `  D ) )
1033, 7, 15, 16lflcl 33870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( H `  x )  e.  K )
10455, 57, 59, 103syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  x )  e.  K
)
105543adant3 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  z )  e.  K
)
1063, 7, 19lmodmcl 17319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( G `  x )  e.  K  /\  ( H `  z )  e.  K )  ->  (
( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) )  e.  K )
10756, 77, 105, 106syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( H `  z
) )  e.  K
)
1087, 25, 69grpsubeq0 15931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( H `  x )  e.  K  /\  (
( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) )  e.  K )  ->  (
( ( H `  x ) ( -g `  D ) ( ( G `  x ) 
.x.  ( H `  z ) ) )  =  ( 0g `  D )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) ) )
10988, 104, 107, 108syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
( H `  x
) ( -g `  D
) ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) )  =  ( 0g `  D )  <-> 
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) 
.x.  ( H `  z ) ) ) )
110102, 109mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
1111103expia 1198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( H `
 x )  =  ( ( G `  x )  .x.  ( H `  z )
) ) )
112111ralrimiv 2876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
113 oveq2 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( H `  z )  ->  (
( G `  x
)  .x.  r )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) )
114113eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( H `  z )  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) 
.x.  r )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) ) )
115114ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( H `  z )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) ) )
116115rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( H `  z
)  e.  K  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
)
11754, 112, 116syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
)
1181173exp2 1214 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  ( G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( G `  z )  =  ( 1r `  D )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) ) ) ) )
119118imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( G `  z )  =  ( 1r `  D )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
) ) )
120119rexlimdv 2953 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
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( 0g `  D
) } ) )  ->  ( E. z  e.  V  ( G `  z )  =  ( 1r `  D )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) ) )
12149, 120mpd 15 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
12244, 121pm2.61dane 2785 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {csn 4027    X. cxp 4997   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Basecbs 14489   .rcmulr 14555  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694   Grpcgrp 15726   -gcsg 15729   1rcur 16952   Ringcrg 16995   LModclmod 17307   LVecclvec 17543  LFnlclfn 33863  LKerclk 33891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-oppr 17068  df-dvdsr 17086  df-unit 17087  df-invr 17117  df-drng 17193  df-lmod 17309  df-lvec 17544  df-lfl 33864  df-lkr 33892
This theorem is referenced by:  eqlkr2  33906  eqlkr3  33907
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