Theorem eqidob 15144

Description: When the identities are equal, the objects are equal. JFM CAT₁ th. 45.

Hypotheses

Ref	Expression
eqidob.1	|- O = dom J
eqidob.2	|- J = (id` C)

Assertion

Ref	Expression
eqidob	|- ((C e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> ((J` A) = (J` B) -> A = B))

Proof of Theorem eqidob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catded 15111	. . . 4 |- (C e. Cat -> C e. Ded )
2		id 73	. . . 4 |- (A e. O -> A e. O)
3		id 73	. . . 4 |- (B e. O -> B e. O)
4	1, 2, 3	3anim123i 1053	. . 3 |- ((C e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (C e. Ded /\ A e. O /\ B e. O))
5		eqidob.1	. . . . . 6 |- O = dom J
6		eqid 1884	. . . . . 6 |- (dom` C) = (dom` C)
7		eqidob.2	. . . . . 6 |- J = (id` C)
8		eqid 1884	. . . . . 6 |- (cod` C) = (cod` C)
9	5, 6, 7, 8	idosd 15091	. . . . 5 |- ((C e. Ded /\ A e. O) -> (((dom` C)` (J` A)) = A /\ ((cod` C)` (J` A)) = A))
10	9	3adant3 896	. . . 4 |- ((C e. Ded /\ A e. O /\ B e. O) -> (((dom` C)` (J` A)) = A /\ ((cod` C)` (J` A)) = A))
11	5, 6, 7, 8	idosd 15091	. . . . 5 |- ((C e. Ded /\ B e. O) -> (((dom` C)` (J` B)) = B /\ ((cod` C)` (J` B)) = B))
12	11	3adant2 895	. . . 4 |- ((C e. Ded /\ A e. O /\ B e. O) -> (((dom` C)` (J` B)) = B /\ ((cod` C)` (J` B)) = B))
13	10, 12	jca 310	. . 3 |- ((C e. Ded /\ A e. O /\ B e. O) -> ((((dom` C)` (J` A)) = A /\ ((cod` C)` (J` A)) = A) /\ (((dom` C)` (J` B)) = B /\ ((cod` C)` (J` B)) = B)))
14		eqeq12 1896	. . . . 5 |- ((((dom` C)` (J` A)) = A /\ ((dom` C)` (J` B)) = B) -> (((dom` C)` (J` A)) = ((dom` C)` (J` B)) <-> A = B))
15	14	biimpd 170	. . . 4 |- ((((dom` C)` (J` A)) = A /\ ((dom` C)` (J` B)) = B) -> (((dom` C)` (J` A)) = ((dom` C)` (J` B)) -> A = B))
16	15	ad2ant2r 445	. . 3 |- (((((dom` C)` (J` A)) = A /\ ((cod` C)` (J` A)) = A) /\ (((dom` C)` (J` B)) = B /\ ((cod` C)` (J` B)) = B)) -> (((dom` C)` (J` A)) = ((dom` C)` (J` B)) -> A = B))
17	4, 13, 16	3syl 24	. 2 |- ((C e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (((dom` C)` (J` A)) = ((dom` C)` (J` B)) -> A = B))
18		fveq2 4681	. 2 |- ((J` A) = (J` B) -> ((dom` C)` (J` A)) = ((dom` C)` (J` B)))
19	17, 18	syl5 20	1 |- ((C e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> ((J` A) = (J` B) -> A = B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  dom cdm 3986  ` cfv 3998  domcdom_ 15059  codccod_ 15060  idcid_ 15061   Ded cded 15081   Cat ccat 15099

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-doma 15064  df-coda 15065  df-ida 15066  df-cmpa 15067  df-ded 15082  df-cat 15100

Copyright terms: Public domain