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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > eqger | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The subgroup coset equivalence relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.) |
Ref | Expression |
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eqger.x |
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eqger.r |
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eqger |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqger.r |
. . . 4
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2 | 1 | releqg 16912 |
. . 3
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3 | 2 | a1i 11 |
. 2
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4 | subgrcl 16870 |
. . . . . 6
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5 | eqger.x |
. . . . . . 7
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6 | 5 | subgss 16866 |
. . . . . 6
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7 | eqid 2461 |
. . . . . . 7
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8 | eqid 2461 |
. . . . . . 7
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9 | 5, 7, 8, 1 | eqgval 16914 |
. . . . . 6
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10 | 4, 6, 9 | syl2anc 671 |
. . . . 5
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11 | 10 | biimpa 491 |
. . . 4
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12 | 11 | simp2d 1027 |
. . 3
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13 | 11 | simp1d 1026 |
. . 3
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14 | 4 | adantr 471 |
. . . . . 6
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15 | 5, 7 | grpinvcl 16759 |
. . . . . . 7
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16 | 14, 13, 15 | syl2anc 671 |
. . . . . 6
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17 | 5, 8, 7 | grpinvadd 16780 |
. . . . . 6
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18 | 14, 16, 12, 17 | syl3anc 1276 |
. . . . 5
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19 | 5, 7 | grpinvinv 16769 |
. . . . . . 7
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20 | 14, 13, 19 | syl2anc 671 |
. . . . . 6
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21 | 20 | oveq2d 6330 |
. . . . 5
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22 | 18, 21 | eqtrd 2495 |
. . . 4
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23 | 11 | simp3d 1028 |
. . . . 5
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24 | 7 | subginvcl 16874 |
. . . . 5
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25 | 23, 24 | syldan 477 |
. . . 4
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26 | 22, 25 | eqeltrrd 2540 |
. . 3
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27 | 6 | adantr 471 |
. . . 4
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28 | 5, 7, 8, 1 | eqgval 16914 |
. . . 4
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29 | 14, 27, 28 | syl2anc 671 |
. . 3
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30 | 12, 13, 26, 29 | mpbir3and 1197 |
. 2
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31 | 13 | adantrr 728 |
. . 3
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32 | 5, 7, 8, 1 | eqgval 16914 |
. . . . . . 7
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33 | 4, 6, 32 | syl2anc 671 |
. . . . . 6
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34 | 33 | biimpa 491 |
. . . . 5
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35 | 34 | adantrl 727 |
. . . 4
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36 | 35 | simp2d 1027 |
. . 3
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37 | 4 | adantr 471 |
. . . . . 6
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38 | 37, 31, 15 | syl2anc 671 |
. . . . . 6
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39 | 12 | adantrr 728 |
. . . . . 6
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40 | 5, 7 | grpinvcl 16759 |
. . . . . . . 8
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41 | 37, 39, 40 | syl2anc 671 |
. . . . . . 7
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42 | 5, 8 | grpcl 16727 |
. . . . . . 7
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43 | 37, 41, 36, 42 | syl3anc 1276 |
. . . . . 6
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44 | 5, 8 | grpass 16728 |
. . . . . 6
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45 | 37, 38, 39, 43, 44 | syl13anc 1278 |
. . . . 5
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46 | eqid 2461 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 5, 8, 46, 7 | grprinv 16761 |
. . . . . . . . 9
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48 | 37, 39, 47 | syl2anc 671 |
. . . . . . . 8
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49 | 48 | oveq1d 6329 |
. . . . . . 7
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50 | 5, 8 | grpass 16728 |
. . . . . . . 8
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51 | 37, 39, 41, 36, 50 | syl13anc 1278 |
. . . . . . 7
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52 | 5, 8, 46 | grplid 16744 |
. . . . . . . 8
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53 | 37, 36, 52 | syl2anc 671 |
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54 | 49, 51, 53 | 3eqtr3d 2503 |
. . . . . 6
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55 | 54 | oveq2d 6330 |
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56 | 45, 55 | eqtrd 2495 |
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57 | simpl 463 |
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58 | 23 | adantrr 728 |
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59 | 35 | simp3d 1028 |
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60 | 8 | subgcl 16875 |
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61 | 57, 58, 59, 60 | syl3anc 1276 |
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62 | 56, 61 | eqeltrrd 2540 |
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63 | 6 | adantr 471 |
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64 | 5, 7, 8, 1 | eqgval 16914 |
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65 | 37, 63, 64 | syl2anc 671 |
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66 | 31, 36, 62, 65 | mpbir3and 1197 |
. 2
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67 | 5, 8, 46, 7 | grplinv 16760 |
. . . . . . 7
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68 | 4, 67 | sylan 478 |
. . . . . 6
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69 | 46 | subg0cl 16873 |
. . . . . . 7
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70 | 69 | adantr 471 |
. . . . . 6
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71 | 68, 70 | eqeltrd 2539 |
. . . . 5
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72 | 71 | ex 440 |
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73 | 72 | pm4.71rd 645 |
. . 3
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74 | 5, 7, 8, 1 | eqgval 16914 |
. . . . 5
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75 | 4, 6, 74 | syl2anc 671 |
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76 | df-3an 993 |
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77 | anidm 654 |
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78 | 77 | anbi2ci 707 |
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79 | 76, 78 | bitri 257 |
. . . 4
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80 | 75, 79 | syl6bb 269 |
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81 | 73, 80 | bitr4d 264 |
. 2
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82 | 3, 30, 66, 81 | iserd 7414 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1679 ax-4 1692 ax-5 1768 ax-6 1815 ax-7 1861 ax-8 1899 ax-9 1906 ax-10 1925 ax-11 1930 ax-12 1943 ax-13 2101 ax-ext 2441 ax-rep 4528 ax-sep 4538 ax-nul 4547 ax-pow 4594 ax-pr 4652 ax-un 6609 ax-cnex 9620 ax-resscn 9621 ax-1cn 9622 ax-icn 9623 ax-addcl 9624 ax-addrcl 9625 ax-mulcl 9626 ax-mulrcl 9627 ax-mulcom 9628 ax-addass 9629 ax-mulass 9630 ax-distr 9631 ax-i2m1 9632 ax-1ne0 9633 ax-1rid 9634 ax-rnegex 9635 ax-rrecex 9636 ax-cnre 9637 ax-pre-lttri 9638 ax-pre-lttrn 9639 ax-pre-ltadd 9640 ax-pre-mulgt0 9641 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1457 df-ex 1674 df-nf 1678 df-sb 1808 df-eu 2313 df-mo 2314 df-clab 2448 df-cleq 2454 df-clel 2457 df-nfc 2591 df-ne 2634 df-nel 2635 df-ral 2753 df-rex 2754 df-reu 2755 df-rmo 2756 df-rab 2757 df-v 3058 df-sbc 3279 df-csb 3375 df-dif 3418 df-un 3420 df-in 3422 df-ss 3429 df-pss 3431 df-nul 3743 df-if 3893 df-pw 3964 df-sn 3980 df-pr 3982 df-tp 3984 df-op 3986 df-uni 4212 df-iun 4293 df-br 4416 df-opab 4475 df-mpt 4476 df-tr 4511 df-eprel 4763 df-id 4767 df-po 4773 df-so 4774 df-fr 4811 df-we 4813 df-xp 4858 df-rel 4859 df-cnv 4860 df-co 4861 df-dm 4862 df-rn 4863 df-res 4864 df-ima 4865 df-pred 5398 df-ord 5444 df-on 5445 df-lim 5446 df-suc 5447 df-iota 5564 df-fun 5602 df-fn 5603 df-f 5604 df-f1 5605 df-fo 5606 df-f1o 5607 df-fv 5608 df-riota 6276 df-ov 6317 df-oprab 6318 df-mpt2 6319 df-om 6719 df-1st 6819 df-2nd 6820 df-wrecs 7053 df-recs 7115 df-rdg 7153 df-er 7388 df-en 7595 df-dom 7596 df-sdom 7597 df-pnf 9702 df-mnf 9703 df-xr 9704 df-ltxr 9705 df-le 9706 df-sub 9887 df-neg 9888 df-nn 10637 df-2 10695 df-ndx 15172 df-slot 15173 df-base 15174 df-sets 15175 df-ress 15176 df-plusg 15251 df-0g 15388 df-mgm 16536 df-sgrp 16575 df-mnd 16585 df-grp 16721 df-minusg 16722 df-subg 16862 df-eqg 16864 |
This theorem is referenced by: qusgrp 16920 qusadd 16922 lagsubg2 16926 lagsubg 16927 orbstafun 17013 orbstaval 17014 orbsta 17015 orbsta2 17016 sylow2blem1 17320 sylow2blem2 17321 sylow2blem3 17322 sylow3lem3 17329 sylow3lem4 17330 2idlcpbl 18506 qus1 18507 qusrhm 18509 quscrng 18512 zndvds 19168 cldsubg 21173 qustgpopn 21182 qustgphaus 21185 tgptsmscls 21212 |
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