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Theorem eqger 16046
Description: The subgroup coset equivalence relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
eqger.r  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
Assertion
Ref Expression
eqger  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)

Proof of Theorem eqger
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqger.r . . . 4  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
21releqg 16043 . . 3  |-  Rel  .~
32a1i 11 . 2  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Rel  .~  )
4 subgrcl 16001 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
5 eqger.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
65subgss 15997 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
7 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
8 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
95, 7, 8, 1eqgval 16045 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  y  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y )  e.  Y
) ) )
104, 6, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  y  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y ) ) )
1110biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y )  e.  Y
) )
1211simp2d 1009 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  y  e.  X )
1311simp1d 1008 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  x  e.  X )
144adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  G  e.  Grp )
155, 7grpinvcl 15896 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  X )
1614, 13, 15syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  x
)  e.  X )
175, 8, 7grpinvadd 15917 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  x
) ) ) )
1814, 16, 12, 17syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  x
) ) ) )
195, 7grpinvinv 15906 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  x
) )  =  x )
2014, 13, 19syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  x
) )  =  x )
2120oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 ( ( invg `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x ) )
2218, 21eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) x ) )
2311simp3d 1010 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y )
247subginvcl 16005 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  e.  Y )
2523, 24syldan 470 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  e.  Y )
2622, 25eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )
276adantr 465 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  Y  C_  X )
285, 7, 8, 1eqgval 16045 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( y  .~  x  <->  ( y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
) ) )
2914, 27, 28syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
y  .~  x  <->  ( y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) ) )
3012, 13, 26, 29mpbir3and 1179 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  y  .~  x )
3113adantrr 716 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  x  e.  X
)
325, 7, 8, 1eqgval 16045 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( y  .~  z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
334, 6, 32syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( y  .~  z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
3433biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  .~  z )  ->  (
y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) )
3534adantrl 715 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) )
3635simp2d 1009 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  z  e.  X
)
374adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  G  e.  Grp )
3837, 31, 15syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  X )
3912adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  y  e.  X
)
405, 7grpinvcl 15896 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
4137, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  X )
425, 8grpcl 15864 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)
4337, 41, 36, 42syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  X
)
445, 8grpass 15865 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
4537, 38, 39, 43, 44syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
46 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
475, 8, 46, 7grprinv 15898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
4837, 39, 47syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) )  =  ( 0g `  G ) )
4948oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z ) )
505, 8grpass 15865 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  X  /\  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
5137, 39, 41, 36, 50syl13anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
525, 8, 46grplid 15881 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5337, 36, 52syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5449, 51, 533eqtr3d 2516 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  z )
5554oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) z ) )
5645, 55eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z ) )
57 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
5823adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) y )  e.  Y
)
5935simp3d 1010 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  Y
)
608subgcl 16006 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  Y )
6157, 58, 59, 60syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  Y )
6256, 61eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) z )  e.  Y
)
636adantr 465 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  Y  C_  X
)
645, 7, 8, 1eqgval 16045 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  z  <->  ( x  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
6537, 63, 64syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( x  .~  z 
<->  ( x  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
6631, 36, 62, 65mpbir3and 1179 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  x  .~  z
)
675, 8, 46, 7grplinv 15897 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )
684, 67sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )
6946subg0cl 16004 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  Y
)
7069adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  ( 0g `  G )  e.  Y )
7168, 70eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )
7271ex 434 . . . 4  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) )
7372pm4.71rd 635 . . 3  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) ) )
745, 7, 8, 1eqgval 16045 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  x  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
) ) )
754, 6, 74syl2anc 661 . . . 4  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  x  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) ) )
76 df-3an 975 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X )  /\  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) )
77 anidm 644 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X )  <->  x  e.  X )
7877anbi2ci 696 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X
)  /\  ( (
( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )  <->  ( (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
7976, 78bitri 249 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
)  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
8075, 79syl6bb 261 . . 3  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  x  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) ) )
8173, 80bitr4d 256 . 2  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  <->  x  .~  x
) )
823, 30, 66, 81iserd 7334 1  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   Rel wrel 5004   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    Er wer 7305   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   0gc0g 14691   Grpcgrp 15723   invgcminusg 15724  SubGrpcsubg 15990   ~QG cqg 15992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-subg 15993  df-eqg 15995
This theorem is referenced by:  divsgrp  16051  divsadd  16053  lagsubg2  16057  lagsubg  16058  orbstafun  16144  orbstaval  16145  orbsta  16146  orbsta2  16147  sylow2blem1  16436  sylow2blem2  16437  sylow2blem3  16438  sylow3lem3  16445  sylow3lem4  16446  2idlcpbl  17664  divs1  17665  divsrhm  17667  divscrng  17670  zndvds  18355  cldsubg  20344  divstgpopn  20353  divstgphaus  20356  tgptsmscls  20387
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