MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqger Structured version   Unicode version

Theorem eqger 16229
Description: The subgroup coset equivalence relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
eqger.r  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
Assertion
Ref Expression
eqger  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)

Proof of Theorem eqger
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqger.r . . . 4  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
21releqg 16226 . . 3  |-  Rel  .~
32a1i 11 . 2  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Rel  .~  )
4 subgrcl 16184 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
5 eqger.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
65subgss 16180 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
7 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
8 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
95, 7, 8, 1eqgval 16228 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  y  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y )  e.  Y
) ) )
104, 6, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  y  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y ) ) )
1110biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y )  e.  Y
) )
1211simp2d 1010 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  y  e.  X )
1311simp1d 1009 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  x  e.  X )
144adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  G  e.  Grp )
155, 7grpinvcl 16073 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  X )
1614, 13, 15syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  x
)  e.  X )
175, 8, 7grpinvadd 16094 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  x
) ) ) )
1814, 16, 12, 17syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  x
) ) ) )
195, 7grpinvinv 16083 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  x
) )  =  x )
2014, 13, 19syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  x
) )  =  x )
2120oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 ( ( invg `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x ) )
2218, 21eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) x ) )
2311simp3d 1011 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y )
247subginvcl 16188 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  e.  Y )
2523, 24syldan 470 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  e.  Y )
2622, 25eqeltrrd 2532 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )
276adantr 465 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  Y  C_  X )
285, 7, 8, 1eqgval 16228 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( y  .~  x  <->  ( y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
) ) )
2914, 27, 28syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
y  .~  x  <->  ( y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) ) )
3012, 13, 26, 29mpbir3and 1180 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  y  .~  x )
3113adantrr 716 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  x  e.  X
)
325, 7, 8, 1eqgval 16228 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( y  .~  z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
334, 6, 32syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( y  .~  z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
3433biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  .~  z )  ->  (
y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) )
3534adantrl 715 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) )
3635simp2d 1010 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  z  e.  X
)
374adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  G  e.  Grp )
3837, 31, 15syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  X )
3912adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  y  e.  X
)
405, 7grpinvcl 16073 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
4137, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  X )
425, 8grpcl 16041 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)
4337, 41, 36, 42syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  X
)
445, 8grpass 16042 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
4537, 38, 39, 43, 44syl13anc 1231 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
46 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
475, 8, 46, 7grprinv 16075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
4837, 39, 47syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) )  =  ( 0g `  G ) )
4948oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z ) )
505, 8grpass 16042 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  X  /\  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
5137, 39, 41, 36, 50syl13anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
525, 8, 46grplid 16058 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5337, 36, 52syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5449, 51, 533eqtr3d 2492 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  z )
5554oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) z ) )
5645, 55eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z ) )
57 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
5823adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) y )  e.  Y
)
5935simp3d 1011 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  Y
)
608subgcl 16189 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  Y )
6157, 58, 59, 60syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  Y )
6256, 61eqeltrrd 2532 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  x )
( +g  `  G ) z )  e.  Y
)
636adantr 465 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  Y  C_  X
)
645, 7, 8, 1eqgval 16228 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  z  <->  ( x  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
6537, 63, 64syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( x  .~  z 
<->  ( x  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
6631, 36, 62, 65mpbir3and 1180 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  x  .~  z
)
675, 8, 46, 7grplinv 16074 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )
684, 67sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )
6946subg0cl 16187 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  Y
)
7069adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  ( 0g `  G )  e.  Y )
7168, 70eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )
7271ex 434 . . . 4  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) )
7372pm4.71rd 635 . . 3  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) ) )
745, 7, 8, 1eqgval 16228 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  x  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
) ) )
754, 6, 74syl2anc 661 . . . 4  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  x  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) ) )
76 df-3an 976 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X )  /\  (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) )
77 anidm 644 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X )  <->  x  e.  X )
7877anbi2ci 696 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X
)  /\  ( (
( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )  <->  ( (
( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
7976, 78bitri 249 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
)  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
8075, 79syl6bb 261 . . 3  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  x  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) ) )
8173, 80bitr4d 256 . 2  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  <->  x  .~  x
) )
823, 30, 66, 81iserd 7339 1  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    C_ wss 3461   class class class wbr 4437   Rel wrel 4994   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    Er wer 7310   Basecbs 14613   +g cplusg 14678   0gc0g 14818   Grpcgrp 16031   invgcminusg 16032  SubGrpcsubg 16173   ~QG cqg 16175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-0g 14820  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-subg 16176  df-eqg 16178
This theorem is referenced by:  qusgrp  16234  qusadd  16236  lagsubg2  16240  lagsubg  16241  orbstafun  16327  orbstaval  16328  orbsta  16329  orbsta2  16330  sylow2blem1  16618  sylow2blem2  16619  sylow2blem3  16620  sylow3lem3  16627  sylow3lem4  16628  2idlcpbl  17860  qus1  17861  qusrhm  17863  quscrng  17866  zndvds  18565  cldsubg  20586  qustgpopn  20595  qustgphaus  20598  tgptsmscls  20629
  Copyright terms: Public domain W3C validator