Theorem eqeng 4479

Description: Equality implies equinumerosity.

Assertion

Ref	Expression
eqeng	|- (A e. C -> (A = B -> A ~~ B))

Proof of Theorem eqeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2673	. 2 |- (A = B -> (A ~~ A <-> A ~~ B))
2		enrefg 4477	. 2 |- (A e. C -> A ~~ A)
3	1, 2	syl5cbi 207	1 |- (A e. C -> (A = B -> A ~~ B))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 988   e. wcel 990   class class class wbr 2669   ~~ cen 4451

This theorem is referenced by:  nneneq 4601  onomeneq 4607  alephord 4964  cdaassen 5019  alephadd 7707

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-rex 1688  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-uni 2552  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-en 4455

Copyright terms: Public domain