Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqcoe1ply1eq Structured version   Unicode version

Theorem eqcoe1ply1eq 31008
 Description: Two polynomials over the same ring are equal if they have identical coefficients. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eqcoe1ply1eq.p Poly1
eqcoe1ply1eq.b
eqcoe1ply1eq.a coe1
eqcoe1ply1eq.c coe1
Assertion
Ref Expression
eqcoe1ply1eq
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem eqcoe1ply1eq
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5802 . . . . . . . . . . 11
2 fveq2 5802 . . . . . . . . . . 11
31, 2eqeq12d 2476 . . . . . . . . . 10
43rspccv 3176 . . . . . . . . 9
54adantl 466 . . . . . . . 8
65imp 429 . . . . . . 7
7 eqcoe1ply1eq.a . . . . . . . 8 coe1
87fveq1i 5803 . . . . . . 7 coe1
9 eqcoe1ply1eq.c . . . . . . . 8 coe1
109fveq1i 5803 . . . . . . 7 coe1
116, 8, 103eqtr3g 2518 . . . . . 6 coe1 coe1
1211oveq1d 6218 . . . . 5 coe1.gmulGrpvar1 coe1.gmulGrpvar1
1312mpteq2dva 4489 . . . 4 coe1.gmulGrpvar1 coe1.gmulGrpvar1
1413oveq2d 6219 . . 3 g coe1.gmulGrpvar1 g coe1.gmulGrpvar1
15 eqcoe1ply1eq.p . . . . . . 7 Poly1
16 eqid 2454 . . . . . . 7 var1 var1
17 eqcoe1ply1eq.b . . . . . . 7
18 eqid 2454 . . . . . . 7
19 eqid 2454 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
20 eqid 2454 . . . . . . 7 .gmulGrp .gmulGrp
21 eqid 2454 . . . . . . 7 coe1 coe1
2215, 16, 17, 18, 19, 20, 21ply1coe 17874 . . . . . 6 g coe1.gmulGrpvar1
23223adant3 1008 . . . . 5 g coe1.gmulGrpvar1
24 eqid 2454 . . . . . . 7 coe1 coe1
2515, 16, 17, 18, 19, 20, 24ply1coe 17874 . . . . . 6 g coe1.gmulGrpvar1
26253adant2 1007 . . . . 5 g coe1.gmulGrpvar1
2723, 26eqeq12d 2476 . . . 4 g coe1.gmulGrpvar1 g coe1.gmulGrpvar1
2827adantr 465 . . 3 g coe1.gmulGrpvar1 g coe1.gmulGrpvar1
2914, 28mpbird 232 . 2
3029ex 434 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  wral 2799   cmpt 4461  cfv 5529  (class class class)co 6203  cn0 10693  cbs 14295  cvsca 14364   g cgsu 14501  .gcmg 15536  mulGrpcmgp 16716  crg 16771  var1cv1 17759  Poly1cpl1 17760  coe1cco1 17761 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-tset 14379  df-ple 14380  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-mulg 15670  df-subg 15800  df-ghm 15867  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-srg 16733  df-rng 16773  df-subrg 16989  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-psr 17549  df-mvr 17550  df-mpl 17551  df-opsr 17553  df-psr1 17763  df-vr1 17764  df-ply1 17765  df-coe1 17766 This theorem is referenced by:  ply1coe1eq  31009  cply1coe0bi  31024  mp2pm2mp  31318
 Copyright terms: Public domain W3C validator