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Theorem eq0rabdioph 28957
Description: This is the first of a number of theorems which allow sets to be proven Diophantine by syntactic induction, and models the correspondence between Diophantine sets and monotone existential first-order logic. This first theorem shows that the zero set of an implicit polynomial is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eq0rabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable group:    t, N
Allowed substitution hint:    A( t)

Proof of Theorem eq0rabdioph
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1672 . . . . . . . 8  |-  F/ t  N  e.  NN0
2 nfmpt1 4369 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )
32nfel1 2579 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )
41, 3nfan 1859 . . . . . . 7  |-  F/ t ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
5 zex 10642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  e.  _V
6 nn0ssz 10654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  C_  ZZ
7 mapss 7243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
85, 6, 7mp2an 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) )
98sseli 3340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
109adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) )
11 mzpf 28914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
12 mptfcl 28898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ 
->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ZZ ) )
1312imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ  /\  t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
1411, 9, 13syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
1514adantll 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A  e.  ZZ )
16 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A )  =  ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )
1716fvmpt2 5769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  A )
1810, 15, 17syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  A )
1918eqcomd 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A  =  ( (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) `  t ) )
2019eqeq1d 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A  =  0  <-> 
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 ) )
2120ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( A  =  0  <->  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 t )  =  0 ) ) )
224, 21ralrimi 2787 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A  =  0  <->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 ) )
23 rabbi 2889 . . . . . 6  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  =  0  <->  ( (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) `  t )  =  0 )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 } )
2422, 23sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 } )
25 nfcv 2569 . . . . . 6  |-  F/_ t
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
26 nfcv 2569 . . . . . 6  |-  F/_ a
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
27 nfv 1672 . . . . . 6  |-  F/ a ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0
28 nffvmpt1 5687 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)
2928nfeq1 2578 . . . . . 6  |-  F/ t ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0
30 fveq2 5679 . . . . . . 7  |-  ( t  =  a  ->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) `  a ) )
3130eqeq1d 2441 . . . . . 6  |-  ( t  =  a  ->  (
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0  <->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 ) )
3225, 26, 27, 29, 31cbvrab 2960 . . . . 5  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 }
3324, 32syl6eq 2481 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 } )
34 df-rab 2714 . . . 4  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 }  =  { a  |  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 ) }
3533, 34syl6eq 2481 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { a  |  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 ) } )
36 elmapi 7222 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  b : ( 1 ... N ) --> NN0 )
37 ffn 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( b : ( 1 ... N ) --> NN0  ->  b  Fn  ( 1 ... N ) )
38 fnresdm 5508 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  Fn  ( 1 ... N )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  =  b )
3936, 37, 383syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  =  b )
4039eqeq2d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  <->  a  =  b ) )
41 equcom 1731 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  <->  b  =  a )
4240, 41syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  <->  b  =  a ) )
4342anbi1d 697 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 b )  =  0 )  <->  ( b  =  a  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) ) )
4443rexbiia 2738 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( b  =  a  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) )
45 fveq2 5679 . . . . . . 7  |-  ( b  =  a  ->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) `  a ) )
4645eqeq1d 2441 . . . . . 6  |-  ( b  =  a  ->  (
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0  <->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 ) )
4746ceqsrexbv 3083 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) ) ( b  =  a  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 )  <-> 
( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 ) )
4844, 47bitr2i 250 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) )
4948abbii 2545 . . 3  |-  { a  |  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 ) }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) }
5035, 49syl6eq 2481 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 b )  =  0 ) } )
51 simpl 454 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
52 nn0z 10656 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
53 uzid 10862 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5452, 53syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5554adantr 462 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
56 simpr 458 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
57 eldioph 28938 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
5851, 55, 56, 57syl3anc 1211 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
5950, 58eqeltrd 2507 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   {cab 2419   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962    C_ wss 3316    e. cmpt 4338    |` cres 4829    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    ^m cmap 7202   0cc0 9269   1c1 9270   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   ...cfz 11423  mzPolycmzp 28900  Diophcdioph 28935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-fz 11424  df-mzpcl 28901  df-mzp 28902  df-dioph 28936
This theorem is referenced by:  eqrabdioph  28958  0dioph  28959  vdioph  28960  rmydioph  29205  expdioph  29214
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