Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eq0rabdioph Structured version   Unicode version

Theorem eq0rabdioph 35339
 Description: This is the first of a number of theorems which allow sets to be proven Diophantine by syntactic induction, and models the correspondence between Diophantine sets and monotone existential first-order logic. This first theorem shows that the zero set of an implicit polynomial is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eq0rabdioph mzPoly Dioph
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem eq0rabdioph
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1754 . . . . . . . 8
2 nfmpt1 4515 . . . . . . . . 9
32nfel1 2607 . . . . . . . 8 mzPoly
41, 3nfan 1986 . . . . . . 7 mzPoly
5 zex 10946 . . . . . . . . . . . . . 14
6 nn0ssz 10958 . . . . . . . . . . . . . 14
7 mapss 7522 . . . . . . . . . . . . . 14
85, 6, 7mp2an 676 . . . . . . . . . . . . 13
98sseli 3466 . . . . . . . . . . . 12
109adantl 467 . . . . . . . . . . 11 mzPoly
11 mzpf 35298 . . . . . . . . . . . . 13 mzPoly
12 mptfcl 35282 . . . . . . . . . . . . . 14
1312imp 430 . . . . . . . . . . . . 13
1411, 9, 13syl2an 479 . . . . . . . . . . . 12 mzPoly
1514adantll 718 . . . . . . . . . . 11 mzPoly
16 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12
1716fvmpt2 5973 . . . . . . . . . . 11
1810, 15, 17syl2anc 665 . . . . . . . . . 10 mzPoly
1918eqcomd 2437 . . . . . . . . 9 mzPoly
2019eqeq1d 2431 . . . . . . . 8 mzPoly
2120ex 435 . . . . . . 7 mzPoly
224, 21ralrimi 2832 . . . . . 6 mzPoly
23 rabbi 3014 . . . . . 6
2422, 23sylib 199 . . . . 5 mzPoly
25 nfcv 2591 . . . . . 6
26 nfcv 2591 . . . . . 6
27 nfv 1754 . . . . . 6
28 nffvmpt1 5889 . . . . . . 7
2928nfeq1 2606 . . . . . 6
30 fveq2 5881 . . . . . . 7
3130eqeq1d 2431 . . . . . 6
3225, 26, 27, 29, 31cbvrab 3085 . . . . 5
3324, 32syl6eq 2486 . . . 4 mzPoly
34 df-rab 2791 . . . 4
3533, 34syl6eq 2486 . . 3 mzPoly
36 elmapi 7501 . . . . . . . . . 10
37 ffn 5746 . . . . . . . . . 10
38 fnresdm 5703 . . . . . . . . . 10
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . 9
4039eqeq2d 2443 . . . . . . . 8
41 equcom 1846 . . . . . . . 8
4240, 41syl6bb 264 . . . . . . 7
4342anbi1d 709 . . . . . 6
4443rexbiia 2933 . . . . 5
45 fveq2 5881 . . . . . . 7
4645eqeq1d 2431 . . . . . 6
4746ceqsrexbv 3212 . . . . 5
4844, 47bitr2i 253 . . . 4
4948abbii 2563 . . 3
5035, 49syl6eq 2486 . 2 mzPoly
51 simpl 458 . . 3 mzPoly
52 nn0z 10960 . . . . 5
53 uzid 11173 . . . . 5
5452, 53syl 17 . . . 4
5554adantr 466 . . 3 mzPoly
56 simpr 462 . . 3 mzPoly mzPoly
57 eldioph 35320 . . 3 mzPoly Dioph
5851, 55, 56, 57syl3anc 1264 . 2 mzPoly Dioph
5950, 58eqeltrd 2517 1 mzPoly Dioph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  cab 2414  wral 2782  wrex 2783  crab 2786  cvv 3087   wss 3442   cmpt 4484   cres 4856   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmap 7480  cc0 9538  c1 9539  cn0 10869  cz 10937  cuz 11159  cfz 11782  mzPolycmzp 35284  Diophcdioph 35317 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-mzpcl 35285  df-mzp 35286  df-dioph 35318 This theorem is referenced by:  eqrabdioph  35340  0dioph  35341  vdioph  35342  rmydioph  35590  expdioph  35599
 Copyright terms: Public domain W3C validator