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Theorem eq0rabdioph 29113
Description: This is the first of a number of theorems which allow sets to be proven Diophantine by syntactic induction, and models the correspondence between Diophantine sets and monotone existential first-order logic. This first theorem shows that the zero set of an implicit polynomial is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eq0rabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable group:    t, N
Allowed substitution hint:    A( t)

Proof of Theorem eq0rabdioph
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ t  N  e.  NN0
2 nfmpt1 4380 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )
32nfel1 2588 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )
41, 3nfan 1861 . . . . . . 7  |-  F/ t ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
5 zex 10654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  e.  _V
6 nn0ssz 10666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  C_  ZZ
7 mapss 7254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
85, 6, 7mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) )
98sseli 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
109adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) )
11 mzpf 29070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
12 mptfcl 29054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ 
->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ZZ ) )
1312imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ  /\  t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
1411, 9, 13syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
1514adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A  e.  ZZ )
16 eqid 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A )  =  ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )
1716fvmpt2 5780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  A )
1810, 15, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  A )
1918eqcomd 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A  =  ( (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) `  t ) )
2019eqeq1d 2450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A  =  0  <-> 
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 ) )
2120ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( A  =  0  <->  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 t )  =  0 ) ) )
224, 21ralrimi 2796 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A  =  0  <->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 ) )
23 rabbi 2898 . . . . . 6  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  =  0  <->  ( (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) `  t )  =  0 )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 } )
2422, 23sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 } )
25 nfcv 2578 . . . . . 6  |-  F/_ t
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
26 nfcv 2578 . . . . . 6  |-  F/_ a
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
27 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ a ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0
28 nffvmpt1 5698 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)
2928nfeq1 2587 . . . . . 6  |-  F/ t ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0
30 fveq2 5690 . . . . . . 7  |-  ( t  =  a  ->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) `  a ) )
3130eqeq1d 2450 . . . . . 6  |-  ( t  =  a  ->  (
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0  <->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 ) )
3225, 26, 27, 29, 31cbvrab 2969 . . . . 5  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 }
3324, 32syl6eq 2490 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 } )
34 df-rab 2723 . . . 4  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 }  =  { a  |  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 ) }
3533, 34syl6eq 2490 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { a  |  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 ) } )
36 elmapi 7233 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  b : ( 1 ... N ) --> NN0 )
37 ffn 5558 . . . . . . . . . 10  |-  ( b : ( 1 ... N ) --> NN0  ->  b  Fn  ( 1 ... N ) )
38 fnresdm 5519 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  Fn  ( 1 ... N )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  =  b )
3936, 37, 383syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  =  b )
4039eqeq2d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  <->  a  =  b ) )
41 equcom 1732 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  <->  b  =  a )
4240, 41syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  <->  b  =  a ) )
4342anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 b )  =  0 )  <->  ( b  =  a  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) ) )
4443rexbiia 2747 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( b  =  a  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) )
45 fveq2 5690 . . . . . . 7  |-  ( b  =  a  ->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) `  a ) )
4645eqeq1d 2450 . . . . . 6  |-  ( b  =  a  ->  (
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0  <->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 ) )
4746ceqsrexbv 3093 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) ) ( b  =  a  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 )  <-> 
( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 ) )
4844, 47bitr2i 250 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) )
4948abbii 2554 . . 3  |-  { a  |  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 ) }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) }
5035, 49syl6eq 2490 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 b )  =  0 ) } )
51 simpl 457 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
52 nn0z 10668 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
53 uzid 10874 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5452, 53syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5554adantr 465 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
56 simpr 461 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
57 eldioph 29094 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
5851, 55, 56, 57syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
5950, 58eqeltrd 2516 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2428   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718   _Vcvv 2971    C_ wss 3327    e. cmpt 4349    |` cres 4841    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    ^m cmap 7213   0cc0 9281   1c1 9282   NN0cn0 10578   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860   ...cfz 11436  mzPolycmzp 29056  Diophcdioph 29091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-mzpcl 29057  df-mzp 29058  df-dioph 29092
This theorem is referenced by:  eqrabdioph  29114  0dioph  29115  vdioph  29116  rmydioph  29361  expdioph  29370
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