Theorem eq0 2889

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22.

Assertion

Ref	Expression
eq0	|- (A = (/) <-> A.x -. x e. A)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neq0 2885	. . 3 |- (-. A = (/) <-> E.x x e. A)
2		df-ex 1327	. . 3 |- (E.x x e. A <-> -. A.x -. x e. A)
3	1, 2	bitri 190	. 2 |- (-. A = (/) <-> -. A.x -. x e. A)
4	3	con4bii 582	1 |- (A = (/) <-> A.x -. x e. A)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  (/)c0 2875

This theorem is referenced by:  0el 2891  ssdif0 2934  difin0ss 2939  inssdif0 2940  inssdif0OLD 2941  ralf0 2975  0ex 3446  0exOLD 3447  snexOLD 3493  dm0 4170  reldm0 4176  tz6.12-2 4696  uzwo4OLD 7422  uzwo 7624  uzwoOLD 7625  fsubbas 10281  usinuniop 10341  bnj1479 13155  ressn0 13829  ioodisj 15364  ufinffr 15578  rnelfmlem 15592  fz10 15788  fzdisj 15793  nninfnub 15819  prtlem14 16277

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-nul 2876

Copyright terms: Public domain