MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eq0 Structured version   Unicode version

Theorem eq0 3720
Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
eq0  |-  ( A  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem eq0
StepHypRef Expression
1 neq0 3715 . . 3  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
2 df-ex 1658 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  -. 
A. x  -.  x  e.  A )
31, 2bitri 252 . 2  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  -.  A. x  -.  x  e.  A
)
43con4bii 298 1  |-  ( A  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 187   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   (/)c0 3704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-v 3024  df-dif 3382  df-nul 3705
This theorem is referenced by:  0el  3722  ssdif0  3796  difin0ss  3806  inssdif0  3807  ralf0  3849  disjiun  4357  0ex  4499  dm0  5010  reldm0  5014  uzwo  11173  fzouzdisj  11905  hashgt0elex  12528  hausdiag  20602  rnelfmlem  20909  bnj1476  29610  wzel  30458  bj-abfal  31420  bj-nel0  31452  bj-nul  31532  bj-nuliota  31533  bj-nuliotaALT  31534  nninfnub  31987  prtlem14  32357  stoweidlem34  37778  stoweidlem44  37788  nrhmzr  39474  zrninitoringc  39674
  Copyright terms: Public domain W3C validator