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Theorem epttop 20024
Description: The excluded point topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
epttop  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, P
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem epttop
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab 3507 . . . . 5  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( y  C_  ~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )
2 simprl 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  y  C_  ~P A )
3 sspwuni 4367 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  ~P A  <->  U. y  C_  A )
42, 3sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  U. y  C_  A )
5 vex 3048 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
65uniex 6587 . . . . . . . . 9  |-  U. y  e.  _V
76elpw 3957 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  ~P A  <->  U. y  C_  A )
84, 7sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  U. y  e.  ~P A )
9 eluni2 4202 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  U. y  <->  E. x  e.  y  P  e.  x )
10 r19.29 2925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  E. x  e.  y  P  e.  x
)  ->  E. x  e.  y  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x )
)
11 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) )  ->  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) )
1211impr 625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x ) )  ->  x  =  A )
13 elssuni 4227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  y  ->  x  C_ 
U. y )
1413adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x ) )  ->  x  C_  U. y )
1512, 14eqsstr3d 3467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x ) )  ->  A  C_  U. y )
1615rexlimiva 2875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  y  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x
)  ->  A  C_  U. y
)
1710, 16syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  E. x  e.  y  P  e.  x
)  ->  A  C_  U. y
)
1817ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A )  -> 
( E. x  e.  y  P  e.  x  ->  A  C_  U. y
) )
1918ad2antll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( E. x  e.  y  P  e.  x  ->  A  C_  U. y ) )
209, 19syl5bi 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  ->  A  C_ 
U. y ) )
2120, 4jctild 546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  ->  ( U. y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) )
22 eqss 3447 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  =  A  <->  ( U. y  C_  A  /\  A  C_ 
U. y ) )
2321, 22syl6ibr 231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  ->  U. y  =  A ) )
24 eleq2 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( P  e.  x  <->  P  e.  U. y ) )
25 eqeq1 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  =  A  <->  U. y  =  A
) )
2624, 25imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  <->  ( P  e.  U. y  ->  U. y  =  A ) ) )
2726elrab 3196 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( U. y  e. 
~P A  /\  ( P  e.  U. y  ->  U. y  =  A ) ) )
288, 23, 27sylanbrc 670 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
2928ex 436 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( y  C_  ~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) )  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
301, 29syl5bi 221 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
3130alrimiv 1773 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. y ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
32 inss1 3652 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  z )  C_  y
33 simprll 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  y  e.  ~P A )
3433elpwid 3961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  y  C_  A
)
3532, 34syl5ss 3443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
365inex1 4544 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
3736elpw 3957 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  <->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
3835, 37sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P A )
39 elin 3617 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( y  i^i  z )  <->  ( P  e.  y  /\  P  e.  z ) )
40 simprlr 773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )
41 simprrr 775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) )
4240, 41anim12d 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( ( P  e.  y  /\  P  e.  z )  ->  (
y  =  A  /\  z  =  A )
) )
43 ineq12 3629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( y  i^i  z
)  =  ( A  i^i  A ) )
44 inidm 3641 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  A )  =  A
4543, 44syl6eq 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( y  i^i  z
)  =  A )
4642, 45syl6 34 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( ( P  e.  y  /\  P  e.  z )  ->  (
y  i^i  z )  =  A ) )
4739, 46syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) )
4838, 47jca 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( ( y  i^i  z )  e. 
~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z )  ->  (
y  i^i  z )  =  A ) ) )
4948ex 436 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  ( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) )  ->  (
( y  i^i  z
)  e.  ~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z )  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) ) ) )
50 eleq2 2518 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  y ) )
51 eqeq1 2455 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  A  <->  y  =  A ) )
5250, 51imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  y  ->  y  =  A ) ) )
5352elrab 3196 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) ) )
54 eleq2 2518 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  z ) )
55 eqeq1 2455 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  A  <->  z  =  A ) )
5654, 55imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) )
5756elrab 3196 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) )
5853, 57anbi12i 703 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  <-> 
( ( y  e. 
~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  ( z  e. 
~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )
59 eleq2 2518 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  ( y  i^i  z
) ) )
60 eqeq1 2455 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  =  A  <->  ( y  i^i  z )  =  A ) )
6159, 60imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  ( y  i^i  z )  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) ) )
6261elrab 3196 . . . . 5  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) ) )
6349, 58, 623imtr4g 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  /\  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  ->  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
6463ralrimivv 2808 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
65 pwexg 4587 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
6665adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ~P A  e.  _V )
67 rabexg 4553 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  _V )
6866, 67syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  _V )
69 istopg 19925 . . . 4  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  _V  ->  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) ) )
7068, 69syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) ) )
7131, 64, 70mpbir2and 933 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top )
72 pwidg 3964 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
7372adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  e.  ~P A
)
74 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  =  A )
7574a1d 26 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( P  e.  A  ->  A  =  A ) )
76 eleq2 2518 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  A ) )
77 eqeq1 2455 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  A  <->  A  =  A ) )
7876, 77imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  A  ->  A  =  A ) ) )
7978elrab 3196 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( A  e.  ~P A  /\  ( P  e.  A  ->  A  =  A ) ) )
8073, 75, 79sylanbrc 670 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
81 elssuni 4227 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  A  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
8280, 81syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  C_  U. { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
83 ssrab2 3514 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  ~P A
84 sspwuni 4367 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  ~P A  <->  U. { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  A )
8583, 84mpbi 212 . . . 4  |-  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  A
8685a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  U. { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  A )
8782, 86eqssd 3449 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
88 istopon 19940 . 2  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  (TopOn `  A )  <->  ( {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top  /\  A  =  U. { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
8971, 87, 88sylanbrc 670 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   ` cfv 5582   Topctop 19917  TopOnctopon 19918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-top 19921  df-topon 19923
This theorem is referenced by:  dfac14lem  20632  dfac14  20633
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