Theorem epos 14307

Description: Euler's constant _e is greater than 0. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
epos	|- 0 < _e

Proof of Theorem epos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 10728	. 2 |- 0 < 2
2		egt2lt3 14306	. . 3 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
3	2	simpli 464	. 2 |- 2 < _e
4		0re 9668	. . 3 |- 0 e. RR
5		2re 10706	. . 3 |- 2 e. RR
6		ere 14191	. . 3 |- _e e. RR
7	4, 5, 6	lttri 9785	. 2 |- ( ( 0 < 2 /\ 2 < _e ) -> 0 < _e )
8	1, 3, 7	mp2an 683	1 |- 0 < _e

Syntax hints:   class class class wbr 4415   0cc0 9564   < clt 9700   2c2 10686   3c3 10687   _eceu 14163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-ico 11669  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-seq 12245  df-exp 12304  df-fac 12491  df-bc 12519  df-hash 12547  df-shft 13178  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-limsup 13574  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-ef 14169  df-e 14170

This theorem is referenced by:  epr  14308  ene0  14309  logdivlti  23617  logdivlt  23618  logdivle  23619  ecxp  23666  bposlem7  24266  bposlem9  24268  chebbnd1lem3  24357  chebbnd1  24358  logdivsum  24419  subfaclim  29959  subfacval3  29960  stirlinglem3  37975  stirlinglem4  37976  stirlinglem13  37985  stirlinglem14  37986  stirlinglem15  37987  stirlingr  37989  etransclem23  38159  etransclem46  38182