Theorem epos 13951

Description: Euler's constant _e is greater than 0. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
epos	|- 0 < _e

Proof of Theorem epos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 10648	. 2 |- 0 < 2
2		egt2lt3 13950	. . 3 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
3	2	simpli 458	. 2 |- 2 < _e
4		0re 9613	. . 3 |- 0 e. RR
5		2re 10626	. . 3 |- 2 e. RR
6		ere 13835	. . 3 |- _e e. RR
7	4, 5, 6	lttri 9727	. 2 |- ( ( 0 < 2 /\ 2 < _e ) -> 0 < _e )
8	1, 3, 7	mp2an 672	1 |- 0 < _e

Syntax hints:   class class class wbr 4456   0cc0 9509   < clt 9645   2c2 10606   3c3 10607   _eceu 13809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-ico 11560  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-e 13815

This theorem is referenced by:  epr  13952  logdivlti  23130  logdivlt  23131  logdivle  23132  ecxp  23179  bposlem7  23690  bposlem9  23692  chebbnd1lem3  23781  chebbnd1  23782  logdivsum  23843  subfaclim  28807  subfacval3  28808  stirlinglem3  32019  stirlinglem4  32020  stirlinglem13  32029  stirlinglem14  32030  stirlinglem15  32031  stirlingr  32033  etransclem23  32201  etransclem46  32224  etransc  32227  ene0  33269