MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  episect Structured version   Unicode version

Theorem episect 15027
Description: If  F is an epimorphism and  F is a section of  G, then  G is an inverse of  F and they are both isomorphisms. This is also stated as "an epimorphism which is also a split monomorphism is an isomorphism". (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sectepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
sectepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
sectepi.s  |-  S  =  (Sect `  C )
sectepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
sectepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
sectepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
episect.n  |-  N  =  (Inv `  C )
episect.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X E Y ) )
episect.2  |-  ( ph  ->  F ( X S Y ) G )
Assertion
Ref Expression
episect  |-  ( ph  ->  F ( X N Y ) G )

Proof of Theorem episect
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . . 4  |-  (oppCat `  C )  =  (oppCat `  C )
2 sectepi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 14965 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppCat `  C ) )
4 eqid 2462 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  C ) )  =  (Mono `  (oppCat `  C ) )
5 eqid 2462 . . 3  |-  (Sect `  (oppCat `  C ) )  =  (Sect `  (oppCat `  C ) )
6 sectepi.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
71oppccat 14969 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
9 sectepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
10 sectepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
11 eqid 2462 . . 3  |-  (Inv `  (oppCat `  C ) )  =  (Inv `  (oppCat `  C ) )
12 episect.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X E Y ) )
13 sectepi.e . . . . 5  |-  E  =  (Epi `  C )
141, 6, 4, 13oppcmon 14985 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X E Y ) )
1512, 14eleqtrrd 2553 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Y (Mono `  (oppCat `  C
) ) X ) )
16 episect.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( X S Y ) G )
17 sectepi.s . . . . 5  |-  S  =  (Sect `  C )
182, 1, 6, 10, 9, 17, 5oppcsect 15020 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( X (Sect `  (oppCat `  C
) ) Y ) F  <->  F ( X S Y ) G ) )
1916, 18mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( X (Sect `  (oppCat `  C )
) Y ) F )
203, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 15, 19monsect 15025 . 2  |-  ( ph  ->  F ( Y (Inv
`  (oppCat `  C )
) X ) G )
21 episect.n . . . 4  |-  N  =  (Inv `  C )
222, 1, 6, 9, 10, 21, 11oppcinv 15022 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y (Inv `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X N Y ) )
2322breqd 4453 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( Y (Inv `  (oppCat `  C
) ) X ) G  <->  F ( X N Y ) G ) )
2420, 23mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  F ( X N Y ) G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Basecbs 14481   Catccat 14910  oppCatcoppc 14958  Monocmon 14975  Epicepi 14976  Sectcsect 14991  Invcinv 14992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-hom 14570  df-cco 14571  df-cat 14914  df-cid 14915  df-oppc 14959  df-mon 14977  df-epi 14978  df-sect 14994  df-inv 14995
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator