MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  episect Structured version   Unicode version

Theorem episect 15201
Description: If  F is an epimorphism and  F is a section of  G, then  G is an inverse of  F and they are both isomorphisms. This is also stated as "an epimorphism which is also a split monomorphism is an isomorphism". (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sectepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
sectepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
sectepi.s  |-  S  =  (Sect `  C )
sectepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
sectepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
sectepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
episect.n  |-  N  =  (Inv `  C )
episect.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X E Y ) )
episect.2  |-  ( ph  ->  F ( X S Y ) G )
Assertion
Ref Expression
episect  |-  ( ph  ->  F ( X N Y ) G )

Proof of Theorem episect
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . 4  |-  (oppCat `  C )  =  (oppCat `  C )
2 sectepi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 15134 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppCat `  C ) )
4 eqid 2457 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  C ) )  =  (Mono `  (oppCat `  C ) )
5 eqid 2457 . . 3  |-  (Sect `  (oppCat `  C ) )  =  (Sect `  (oppCat `  C ) )
6 sectepi.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
71oppccat 15138 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
9 sectepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
10 sectepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
11 eqid 2457 . . 3  |-  (Inv `  (oppCat `  C ) )  =  (Inv `  (oppCat `  C ) )
12 episect.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X E Y ) )
13 sectepi.e . . . . 5  |-  E  =  (Epi `  C )
141, 6, 4, 13oppcmon 15154 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X E Y ) )
1512, 14eleqtrrd 2548 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Y (Mono `  (oppCat `  C
) ) X ) )
16 episect.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( X S Y ) G )
17 sectepi.s . . . . 5  |-  S  =  (Sect `  C )
182, 1, 6, 10, 9, 17, 5oppcsect 15194 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( X (Sect `  (oppCat `  C
) ) Y ) F  <->  F ( X S Y ) G ) )
1916, 18mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( X (Sect `  (oppCat `  C )
) Y ) F )
203, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 15, 19monsect 15199 . 2  |-  ( ph  ->  F ( Y (Inv
`  (oppCat `  C )
) X ) G )
21 episect.n . . . 4  |-  N  =  (Inv `  C )
222, 1, 6, 9, 10, 21, 11oppcinv 15196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y (Inv `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X N Y ) )
2322breqd 4467 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( Y (Inv `  (oppCat `  C
) ) X ) G  <->  F ( X N Y ) G ) )
2420, 23mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  F ( X N Y ) G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   Catccat 15081  oppCatcoppc 15127  Monocmon 15144  Epicepi 15145  Sectcsect 15160  Invcinv 15161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-hom 14736  df-cco 14737  df-cat 15085  df-cid 15086  df-oppc 15128  df-mon 15146  df-epi 15147  df-sect 15163  df-inv 15164
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator