MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  epii Structured version   Unicode version

Theorem epii 15356
Description: Property of an epimorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isepi.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
isepi.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
isepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
isepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
epii.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
epii.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X E Y ) )
epii.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y H Z ) )
epii.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( Y H Z ) )
Assertion
Ref Expression
epii  |-  ( ph  ->  ( ( G (
<. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  =  ( K (
<. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  <-> 
G  =  K ) )

Proof of Theorem epii
StepHypRef Expression
1 isepi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 isepi.o . . . 4  |-  .x.  =  (comp `  C )
3 eqid 2402 . . . 4  |-  (oppCat `  C )  =  (oppCat `  C )
4 epii.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
5 isepi.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 isepi.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6oppcco 15330 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( <. Z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) G )  =  ( G ( <. X ,  Y >.  .x.  Z ) F ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6oppcco 15330 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( <. Z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) K )  =  ( K ( <. X ,  Y >.  .x.  Z ) F ) )
97, 8eqeq12d 2424 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F (
<. Z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) G )  =  ( F ( <. Z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C
) ) X ) K )  <->  ( G
( <. X ,  Y >.  .x.  Z ) F )  =  ( K ( <. X ,  Y >.  .x.  Z ) F ) ) )
103, 1oppcbas 15331 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppCat `  C ) )
11 eqid 2402 . . 3  |-  ( Hom  `  (oppCat `  C )
)  =  ( Hom  `  (oppCat `  C )
)
12 eqid 2402 . . 3  |-  (comp `  (oppCat `  C ) )  =  (comp `  (oppCat `  C ) )
13 eqid 2402 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  C ) )  =  (Mono `  (oppCat `  C ) )
14 isepi.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
153oppccat 15335 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
1614, 15syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
17 epii.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X E Y ) )
18 isepi.e . . . . 5  |-  E  =  (Epi `  C )
193, 14, 13, 18oppcmon 15351 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X E Y ) )
2017, 19eleqtrrd 2493 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Y (Mono `  (oppCat `  C
) ) X ) )
21 epii.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y H Z ) )
22 isepi.h . . . . 5  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
2322, 3oppchom 15328 . . . 4  |-  ( Z ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  =  ( Y H Z )
2421, 23syl6eleqr 2501 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Z ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y ) )
25 epii.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( Y H Z ) )
2625, 23syl6eleqr 2501 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( Z ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y ) )
2710, 11, 12, 13, 16, 5, 6, 4, 20, 24, 26moni 15349 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F (
<. Z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) G )  =  ( F ( <. Z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C
) ) X ) K )  <->  G  =  K ) )
289, 27bitr3d 255 1  |-  ( ph  ->  ( ( G (
<. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  =  ( K (
<. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  <-> 
G  =  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1405    e. wcel 1842   <.cop 3978   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   Hom chom 14920  compcco 14921   Catccat 15278  oppCatcoppc 15324  Monocmon 15341  Epicepi 15342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-hom 14933  df-cco 14934  df-cat 15282  df-cid 15283  df-oppc 15325  df-mon 15343  df-epi 15344
This theorem is referenced by:  setcepi  15691
  Copyright terms: Public domain W3C validator