Theorem epfrs 8194

Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on A), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 8195. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
epfrs	|- ( ( _E Fr A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem epfrs

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3748	. . 3 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
2		snex 4632	. . . . . 6 |- { z } e. _V
3	2	tz9.1 8192	. . . . 5 |- E. y ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) )
4		snssi 4116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. A -> { z } C_ A )
5	4	anim2i 567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) )
6		ssin 3661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) <-> { z } C_ ( y i^i A ) )
7		vex 3062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
8	7	snss 4096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( y i^i A ) <-> { z } C_ ( y i^i A ) )
9	6, 8	bitr4i 252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) <-> z e. ( y i^i A ) )
10	5, 9	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> z e. ( y i^i A ) )
11		ne0i 3744	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( y i^i A ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
13		inss2 3660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y i^i A ) C_ A
14		vex 3062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
15	14	inex1 4535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y i^i A ) e. _V
16	15	epfrc 4809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) C_ A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) )
17	13, 16	mp3an2 1314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) )
18		elin 3626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( y i^i A ) <-> ( x e. y /\ x e. A ) )
19	18	anbi1i 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( ( x e. y /\ x e. A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) )
20		anass 647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. y /\ x e. A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) )
21	19, 20	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) )
22		n0 3748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x i^i A ) =/= (/) <-> E. w w e. ( x i^i A ) )
23		inss1 3659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x i^i A ) C_ x
24	23	sseli 3438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. ( x i^i A ) -> w e. x )
25	24	ancri 550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. ( x i^i A ) -> ( w e. x /\ w e. ( x i^i A ) ) )
26		trel 4496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ x e. y ) -> w e. y ) )
27		inass 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( y i^i A ) i^i x ) = ( y i^i ( A i^i x ) )
28		incom 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( A i^i x ) = ( x i^i A )
29	28	ineq2i 3638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( y i^i ( A i^i x ) ) = ( y i^i ( x i^i A ) )
30	27, 29	eqtri 2431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( y i^i A ) i^i x ) = ( y i^i ( x i^i A ) )
31	30	eleq2i 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) <-> w e. ( y i^i ( x i^i A ) ) )
32		elin 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w e. ( y i^i ( x i^i A ) ) <-> ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) )
33	31, 32	bitr2i 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) <-> w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) )
34		ne0i 3744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) )
35	33, 34	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) )
36	35	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w e. y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) )
37	26, 36	syl6 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ x e. y ) -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
38	37	expd 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Tr y -> ( w e. x -> ( x e. y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
39	38	com34 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Tr y -> ( w e. x -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
40	39	impd 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ w e. ( x i^i A ) ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
41	25, 40	syl5 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Tr y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
42	41	exlimdv 1745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Tr y -> ( E. w w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
43	22, 42	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Tr y -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
44	43	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Tr y -> ( x e. y -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
45	44	imp 427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) )
46	45	necon4d 2630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) -> ( x i^i A ) = (/) ) )
47	46	anim2d 563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
48	47	expimpd 601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Tr y -> ( ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
49	21, 48	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Tr y -> ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
50	49	reximdv2 2875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr y -> ( E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
51	17, 50	syl5 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( Tr y -> ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
52	51	expcomd 436	. . . . . . . . . 10 |- ( Tr y -> ( ( y i^i A ) =/= (/) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
53	12, 52	syl5 30	. . . . . . . . 9 |- ( Tr y -> ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
54	53	expd 434	. . . . . . . 8 |- ( Tr y -> ( { z } C_ y -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) ) )
55	54	impcom 428	. . . . . . 7 |- ( ( { z } C_ y /\ Tr y ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
56	55	3adant3 1017	. . . . . 6 |- ( ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
57	56	exlimiv 1743	. . . . 5 |- ( E. y ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
58	3, 57	ax-mp 5	. . . 4 |- ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
59	58	exlimiv 1743	. . 3 |- ( E. z z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
60	1, 59	sylbi 195	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
61	60	impcom 428	1 |- ( ( _E Fr A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   A.wal 1403   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   =/= wne 2598   E.wrex 2755   i^i cin 3413   C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972   Tr wtr 4489   _E cep 4732   Fr wfr 4779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113

This theorem is referenced by:  zfregs  8195