Theorem epfrs 8215

Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on A), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 8216. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
epfrs	|- ( ( _E Fr A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem epfrs

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3741	. . 3 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
2		snssi 4116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. A -> { z } C_ A )
3	2	anim2i 573	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) )
4		ssin 3654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) <-> { z } C_ ( y i^i A ) )
5		vex 3048	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
6	5	snss 4096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( y i^i A ) <-> { z } C_ ( y i^i A ) )
7	4, 6	bitr4i 256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) <-> z e. ( y i^i A ) )
8	3, 7	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> z e. ( y i^i A ) )
9		ne0i 3737	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( y i^i A ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
11		inss2 3653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i A ) C_ A
12		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
13	12	inex1 4544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y i^i A ) e. _V
14	13	epfrc 4820	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) C_ A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) )
15	11, 14	mp3an2 1352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) )
16		elin 3617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( y i^i A ) <-> ( x e. y /\ x e. A ) )
17	16	anbi1i 701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( ( x e. y /\ x e. A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) )
18		anass 655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. y /\ x e. A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) )
19	17, 18	bitri 253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) )
20		n0 3741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x i^i A ) =/= (/) <-> E. w w e. ( x i^i A ) )
21		inss1 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x i^i A ) C_ x
22	21	sseli 3428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. ( x i^i A ) -> w e. x )
23	22	ancri 555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w e. ( x i^i A ) -> ( w e. x /\ w e. ( x i^i A ) ) )
24		trel 4504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ x e. y ) -> w e. y ) )
25		inass 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( y i^i A ) i^i x ) = ( y i^i ( A i^i x ) )
26		incom 3625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( A i^i x ) = ( x i^i A )
27	26	ineq2i 3631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( y i^i ( A i^i x ) ) = ( y i^i ( x i^i A ) )
28	25, 27	eqtri 2473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( y i^i A ) i^i x ) = ( y i^i ( x i^i A ) )
29	28	eleq2i 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) <-> w e. ( y i^i ( x i^i A ) ) )
30		elin 3617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. ( y i^i ( x i^i A ) ) <-> ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) )
31	29, 30	bitr2i 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) <-> w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) )
32		ne0i 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) )
33	31, 32	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) )
34	33	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w e. y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) )
35	24, 34	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ x e. y ) -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
36	35	expd 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Tr y -> ( w e. x -> ( x e. y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
37	36	com34 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Tr y -> ( w e. x -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
38	37	impd 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ w e. ( x i^i A ) ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
39	23, 38	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Tr y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
40	39	exlimdv 1779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Tr y -> ( E. w w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
41	20, 40	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Tr y -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
42	41	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Tr y -> ( x e. y -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
43	42	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) )
44	43	necon4d 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) -> ( x i^i A ) = (/) ) )
45	44	anim2d 569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
46	45	expimpd 608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Tr y -> ( ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
47	19, 46	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr y -> ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
48	47	reximdv2 2858	. . . . . . . . . . 11 |- ( Tr y -> ( E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
49	15, 48	syl5 33	. . . . . . . . . 10 |- ( Tr y -> ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
50	49	expcomd 440	. . . . . . . . 9 |- ( Tr y -> ( ( y i^i A ) =/= (/) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
51	10, 50	syl5 33	. . . . . . . 8 |- ( Tr y -> ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
52	51	expd 438	. . . . . . 7 |- ( Tr y -> ( { z } C_ y -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) ) )
53	52	impcom 432	. . . . . 6 |- ( ( { z } C_ y /\ Tr y ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
54	53	3adant3 1028	. . . . 5 |- ( ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
55		snex 4641	. . . . . 6 |- { z } e. _V
56	55	tz9.1 8213	. . . . 5 |- E. y ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) )
57	54, 56	exlimiiv 1777	. . . 4 |- ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
58	57	exlimiv 1776	. . 3 |- ( E. z z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
59	1, 58	sylbi 199	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
60	59	impcom 432	1 |- ( ( _E Fr A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   A.wal 1442   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   =/= wne 2622   E.wrex 2738   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   Tr wtr 4497   _E cep 4743   Fr wfr 4790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128

This theorem is referenced by:  zfregs  8216