Theorem epfrs 7943

Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on A), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 7944. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
epfrs	|- ( ( _E Fr A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem epfrs

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3641	. . 3 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
2		snex 4528	. . . . . 6 |- { z } e. _V
3	2	tz9.1 7941	. . . . 5 |- E. y ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) )
4		snssi 4012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. A -> { z } C_ A )
5	4	anim2i 569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) )
6		ssin 3567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) <-> { z } C_ ( y i^i A ) )
7		vex 2970	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
8	7	snss 3994	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( y i^i A ) <-> { z } C_ ( y i^i A ) )
9	6, 8	bitr4i 252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) <-> z e. ( y i^i A ) )
10	5, 9	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> z e. ( y i^i A ) )
11		ne0i 3638	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( y i^i A ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
13		inss2 3566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y i^i A ) C_ A
14		vex 2970	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
15	14	inex1 4428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y i^i A ) e. _V
16	15	epfrc 4701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) C_ A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) )
17	13, 16	mp3an2 1302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) )
18		elin 3534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( y i^i A ) <-> ( x e. y /\ x e. A ) )
19	18	anbi1i 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( ( x e. y /\ x e. A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) )
20		anass 649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. y /\ x e. A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) )
21	19, 20	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) )
22		n0 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x i^i A ) =/= (/) <-> E. w w e. ( x i^i A ) )
23		inss1 3565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x i^i A ) C_ x
24	23	sseli 3347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. ( x i^i A ) -> w e. x )
25	24	ancri 552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. ( x i^i A ) -> ( w e. x /\ w e. ( x i^i A ) ) )
26		trel 4387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ x e. y ) -> w e. y ) )
27		inass 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( y i^i A ) i^i x ) = ( y i^i ( A i^i x ) )
28		incom 3538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( A i^i x ) = ( x i^i A )
29	28	ineq2i 3544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( y i^i ( A i^i x ) ) = ( y i^i ( x i^i A ) )
30	27, 29	eqtri 2458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( y i^i A ) i^i x ) = ( y i^i ( x i^i A ) )
31	30	eleq2i 2502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) <-> w e. ( y i^i ( x i^i A ) ) )
32		elin 3534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w e. ( y i^i ( x i^i A ) ) <-> ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) )
33	31, 32	bitr2i 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) <-> w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) )
34		ne0i 3638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) )
35	33, 34	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) )
36	35	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w e. y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) )
37	26, 36	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ x e. y ) -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
38	37	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Tr y -> ( w e. x -> ( x e. y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
39	38	com34 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Tr y -> ( w e. x -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
40	39	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ w e. ( x i^i A ) ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
41	25, 40	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Tr y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
42	41	exlimdv 1690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Tr y -> ( E. w w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
43	22, 42	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Tr y -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
44	43	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Tr y -> ( x e. y -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
45	44	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) )
46	45	necon4d 2669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) -> ( x i^i A ) = (/) ) )
47	46	anim2d 565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
48	47	expimpd 603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Tr y -> ( ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
49	21, 48	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Tr y -> ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
50	49	reximdv2 2820	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr y -> ( E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
51	17, 50	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( Tr y -> ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
52	51	expcomd 438	. . . . . . . . . 10 |- ( Tr y -> ( ( y i^i A ) =/= (/) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
53	12, 52	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( Tr y -> ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
54	53	expd 436	. . . . . . . 8 |- ( Tr y -> ( { z } C_ y -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) ) )
55	54	impcom 430	. . . . . . 7 |- ( ( { z } C_ y /\ Tr y ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
56	55	3adant3 1008	. . . . . 6 |- ( ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
57	56	exlimiv 1688	. . . . 5 |- ( E. y ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
58	3, 57	ax-mp 5	. . . 4 |- ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
59	58	exlimiv 1688	. . 3 |- ( E. z z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
60	1, 59	sylbi 195	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
61	60	impcom 430	1 |- ( ( _E Fr A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   =/= wne 2601   E.wrex 2711   i^i cin 3322   C_ wss 3323   (/)c0 3632   {csn 3872   Tr wtr 4380   _E cep 4625   Fr wfr 4671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858

This theorem is referenced by:  zfregs  7944