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Theorem epfrs 7939
Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on  A), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 7940. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
epfrs  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem epfrs
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3634 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
2 snex 4521 . . . . . 6  |-  { z }  e.  _V
32tz9.1 7937 . . . . 5  |-  E. y
( { z } 
C_  y  /\  Tr  y  /\  A. w ( ( { z } 
C_  w  /\  Tr  w )  ->  y  C_  w ) )
4 snssi 4005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  { z }  C_  A )
54anim2i 564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  ( {
z }  C_  y  /\  { z }  C_  A ) )
6 ssin 3560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  { z } 
C_  A )  <->  { z }  C_  ( y  i^i 
A ) )
7 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
87snss 3987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
A )  <->  { z }  C_  ( y  i^i 
A ) )
96, 8bitr4i 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  { z } 
C_  A )  <->  z  e.  ( y  i^i  A
) )
105, 9sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  ( y  i^i  A
) )
11 ne0i 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
A )  ->  (
y  i^i  A )  =/=  (/) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  ( y  i^i  A )  =/=  (/) )
13 inss2 3559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  i^i  A )  C_  A
14 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
1514inex1 4421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  i^i  A )  e. 
_V
1615epfrc 4693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  ( y  i^i  A
)  C_  A  /\  ( y  i^i  A
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  (
y  i^i  A )
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )
1713, 16mp3an2 1295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  ( y  i^i  A
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  (
y  i^i  A )
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )
18 elin 3527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( y  i^i 
A )  <->  ( x  e.  y  /\  x  e.  A ) )
1918anbi1i 688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  x  e.  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) )
20 anass 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  x  e.  A
)  /\  ( (
y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/) ) 
<->  ( x  e.  y  /\  ( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/) ) ) )
2119, 20bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) ) )
22 n0 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( x  i^i  A
) )
23 inss1 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
2423sseli 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  w  e.  x )
2524ancri 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  (
w  e.  x  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) ) )
26 trel 4380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  x  e.  y )  ->  w  e.  y ) )
27 inass 3548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  ( y  i^i  ( A  i^i  x ) )
28 incom 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( A  i^i  x )  =  ( x  i^i  A
)
2928ineq2i 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  i^i  ( A  i^i  x ) )  =  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
)
3027, 29eqtri 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
)
3130eleq2i 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  <->  w  e.  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
) )
32 elin 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  ( y  i^i  ( x  i^i  A
) )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A
) ) )
3331, 32bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  <->  w  e.  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
) )
34 ne0i 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  ->  (
( y  i^i  A
)  i^i  x )  =/=  (/) )
3533, 34sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) )
3635ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  y  ->  (
w  e.  ( x  i^i  A )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) )
3726, 36syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  x  e.  y )  ->  ( w  e.  ( x  i^i  A )  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
3837exp3a 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  (
w  e.  ( x  i^i  A )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
3938com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  x  ->  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  (
x  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
4039imp3a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4125, 40syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  ( x  i^i  A
)  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4241exlimdv 1689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Tr  y  ->  ( E. w  w  e.  (
x  i^i  A )  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4322, 42syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  i^i  A )  =/=  (/)  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4443com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Tr  y  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( x  i^i  A )  =/=  (/)  ->  ( (
y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4544imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  i^i  A
)  =/=  (/)  ->  (
( y  i^i  A
)  i^i  x )  =/=  (/) ) )
4645necon4d 2664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/)  ->  (
x  i^i  A )  =  (/) ) )
4746anim2d 560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A
)  =  (/) ) ) )
4847expimpd 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  e.  y  /\  ( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
4921, 48syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A
)  =  (/) ) ) )
5049reximdv2 2815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  y  ->  ( E. x  e.  ( y  i^i  A ) ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/)  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
5117, 50syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  y  ->  ( (  _E  Fr  A  /\  (
y  i^i  A )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
5251exp3acom23 1418 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  y  ->  ( (
y  i^i  A )  =/=  (/)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
5312, 52syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  y  ->  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
5453exp3a 436 . . . . . . . 8  |-  ( Tr  y  ->  ( {
z }  C_  y  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) ) )
5554impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  Tr  y )  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
56553adant3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  Tr  y  /\  A. w ( ( { z }  C_  w  /\  Tr  w )  -> 
y  C_  w )
)  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
5756exlimiv 1687 . . . . 5  |-  ( E. y ( { z }  C_  y  /\  Tr  y  /\  A. w
( ( { z }  C_  w  /\  Tr  w )  ->  y  C_  w ) )  -> 
( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
583, 57ax-mp 5 . . . 4  |-  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
5958exlimiv 1687 . . 3  |-  ( E. z  z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
601, 59sylbi 195 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
6160impcom 430 1  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958   A.wal 1360    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755    =/= wne 2596   E.wrex 2706    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   Tr wtr 4373    _E cep 4617    Fr wfr 4663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852
This theorem is referenced by:  zfregs  7940
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