Theorem epfrs 7623

Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on A), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 7624. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
epfrs	|- ( ( _E Fr A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem epfrs

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3597	. . 3 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
2		snex 4365	. . . . . 6 |- { z } e. _V
3	2	tz9.1 7621	. . . . 5 |- E. y ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) )
4		snssi 3902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. A -> { z } C_ A )
5	4	anim2i 553	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) )
6		ssin 3523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) <-> { z } C_ ( y i^i A ) )
7		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
8	7	snss 3886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( y i^i A ) <-> { z } C_ ( y i^i A ) )
9	6, 8	bitr4i 244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) <-> z e. ( y i^i A ) )
10	5, 9	sylib 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> z e. ( y i^i A ) )
11		ne0i 3594	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( y i^i A ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
13		inss2 3522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y i^i A ) C_ A
14		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
15	14	inex1 4304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y i^i A ) e. _V
16	15	epfrc 4528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) C_ A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) )
17	13, 16	mp3an2 1267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) )
18		elin 3490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( y i^i A ) <-> ( x e. y /\ x e. A ) )
19	18	anbi1i 677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( ( x e. y /\ x e. A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) )
20		anass 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. y /\ x e. A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) )
21	19, 20	bitri 241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) )
22		n0 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x i^i A ) =/= (/) <-> E. w w e. ( x i^i A ) )
23		inss1 3521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x i^i A ) C_ x
24	23	sseli 3304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. ( x i^i A ) -> w e. x )
25	24	ancri 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. ( x i^i A ) -> ( w e. x /\ w e. ( x i^i A ) ) )
26		trel 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ x e. y ) -> w e. y ) )
27		inass 3511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( y i^i A ) i^i x ) = ( y i^i ( A i^i x ) )
28		incom 3493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( A i^i x ) = ( x i^i A )
29	28	ineq2i 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( y i^i ( A i^i x ) ) = ( y i^i ( x i^i A ) )
30	27, 29	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( y i^i A ) i^i x ) = ( y i^i ( x i^i A ) )
31	30	eleq2i 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) <-> w e. ( y i^i ( x i^i A ) ) )
32		elin 3490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w e. ( y i^i ( x i^i A ) ) <-> ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) )
33	31, 32	bitr2i 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) <-> w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) )
34		ne0i 3594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) )
35	33, 34	sylbi 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) )
36	35	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w e. y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) )
37	26, 36	syl6 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ x e. y ) -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
38	37	exp3a 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Tr y -> ( w e. x -> ( x e. y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
39	38	com34 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Tr y -> ( w e. x -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
40	39	imp3a 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ w e. ( x i^i A ) ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
41	25, 40	syl5 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Tr y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
42	41	exlimdv 1643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Tr y -> ( E. w w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
43	22, 42	syl5bi 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Tr y -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
44	43	com23 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Tr y -> ( x e. y -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
45	44	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) )
46	45	necon4d 2630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) -> ( x i^i A ) = (/) ) )
47	46	anim2d 549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
48	47	expimpd 587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Tr y -> ( ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
49	21, 48	syl5bi 209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Tr y -> ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
50	49	reximdv2 2775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr y -> ( E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
51	17, 50	syl5 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( Tr y -> ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
52	51	exp3acom23 1378	. . . . . . . . . 10 |- ( Tr y -> ( ( y i^i A ) =/= (/) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
53	12, 52	syl5 30	. . . . . . . . 9 |- ( Tr y -> ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
54	53	exp3a 426	. . . . . . . 8 |- ( Tr y -> ( { z } C_ y -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) ) )
55	54	impcom 420	. . . . . . 7 |- ( ( { z } C_ y /\ Tr y ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
56	55	3adant3 977	. . . . . 6 |- ( ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
57	56	exlimiv 1641	. . . . 5 |- ( E. y ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
58	3, 57	ax-mp 8	. . . 4 |- ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
59	58	exlimiv 1641	. . 3 |- ( E. z z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
60	1, 59	sylbi 188	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
61	60	impcom 420	1 |- ( ( _E Fr A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   E.wrex 2667   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   Tr wtr 4262   _E cep 4452   Fr wfr 4498

This theorem is referenced by:  zfregs  7624

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627