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Theorem epfrs 8158
Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on  A), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 8159. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
epfrs  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem epfrs
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3794 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
2 snex 4688 . . . . . 6  |-  { z }  e.  _V
32tz9.1 8156 . . . . 5  |-  E. y
( { z } 
C_  y  /\  Tr  y  /\  A. w ( ( { z } 
C_  w  /\  Tr  w )  ->  y  C_  w ) )
4 snssi 4171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  { z }  C_  A )
54anim2i 569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  ( {
z }  C_  y  /\  { z }  C_  A ) )
6 ssin 3720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  { z } 
C_  A )  <->  { z }  C_  ( y  i^i 
A ) )
7 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
87snss 4151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
A )  <->  { z }  C_  ( y  i^i 
A ) )
96, 8bitr4i 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  { z } 
C_  A )  <->  z  e.  ( y  i^i  A
) )
105, 9sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  ( y  i^i  A
) )
11 ne0i 3791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
A )  ->  (
y  i^i  A )  =/=  (/) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  ( y  i^i  A )  =/=  (/) )
13 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  i^i  A )  C_  A
14 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
1514inex1 4588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  i^i  A )  e. 
_V
1615epfrc 4865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  ( y  i^i  A
)  C_  A  /\  ( y  i^i  A
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  (
y  i^i  A )
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )
1713, 16mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  ( y  i^i  A
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  (
y  i^i  A )
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )
18 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( y  i^i 
A )  <->  ( x  e.  y  /\  x  e.  A ) )
1918anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  x  e.  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) )
20 anass 649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  x  e.  A
)  /\  ( (
y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/) ) 
<->  ( x  e.  y  /\  ( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/) ) ) )
2119, 20bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) ) )
22 n0 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( x  i^i  A
) )
23 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
2423sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  w  e.  x )
2524ancri 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  (
w  e.  x  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) ) )
26 trel 4547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  x  e.  y )  ->  w  e.  y ) )
27 inass 3708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  ( y  i^i  ( A  i^i  x ) )
28 incom 3691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( A  i^i  x )  =  ( x  i^i  A
)
2928ineq2i 3697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  i^i  ( A  i^i  x ) )  =  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
)
3027, 29eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
)
3130eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  <->  w  e.  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
) )
32 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  ( y  i^i  ( x  i^i  A
) )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A
) ) )
3331, 32bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  <->  w  e.  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
) )
34 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  ->  (
( y  i^i  A
)  i^i  x )  =/=  (/) )
3533, 34sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) )
3635ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  y  ->  (
w  e.  ( x  i^i  A )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) )
3726, 36syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  x  e.  y )  ->  ( w  e.  ( x  i^i  A )  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
3837expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  (
w  e.  ( x  i^i  A )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
3938com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  x  ->  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  (
x  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
4039impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4125, 40syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  ( x  i^i  A
)  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4241exlimdv 1700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Tr  y  ->  ( E. w  w  e.  (
x  i^i  A )  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4322, 42syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  i^i  A )  =/=  (/)  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4443com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Tr  y  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( x  i^i  A )  =/=  (/)  ->  ( (
y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4544imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  i^i  A
)  =/=  (/)  ->  (
( y  i^i  A
)  i^i  x )  =/=  (/) ) )
4645necon4d 2694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/)  ->  (
x  i^i  A )  =  (/) ) )
4746anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A
)  =  (/) ) ) )
4847expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  e.  y  /\  ( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
4921, 48syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A
)  =  (/) ) ) )
5049reximdv2 2934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  y  ->  ( E. x  e.  ( y  i^i  A ) ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/)  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
5117, 50syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  y  ->  ( (  _E  Fr  A  /\  (
y  i^i  A )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
5251expcomd 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  y  ->  ( (
y  i^i  A )  =/=  (/)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
5312, 52syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  y  ->  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
5453expd 436 . . . . . . . 8  |-  ( Tr  y  ->  ( {
z }  C_  y  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) ) )
5554impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  Tr  y )  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
56553adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  Tr  y  /\  A. w ( ( { z }  C_  w  /\  Tr  w )  -> 
y  C_  w )
)  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
5756exlimiv 1698 . . . . 5  |-  ( E. y ( { z }  C_  y  /\  Tr  y  /\  A. w
( ( { z }  C_  w  /\  Tr  w )  ->  y  C_  w ) )  -> 
( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
583, 57ax-mp 5 . . . 4  |-  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
5958exlimiv 1698 . . 3  |-  ( E. z  z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
601, 59sylbi 195 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
6160impcom 430 1  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   Tr wtr 4540    _E cep 4789    Fr wfr 4835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073
This theorem is referenced by:  zfregs  8159
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