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Theorem epfrs 8215
Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on  A), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 8216. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
epfrs  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem epfrs
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3741 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
2 snssi 4116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  A  ->  { z }  C_  A )
32anim2i 573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  ( {
z }  C_  y  /\  { z }  C_  A ) )
4 ssin 3654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  { z } 
C_  A )  <->  { z }  C_  ( y  i^i 
A ) )
5 vex 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
65snss 4096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
A )  <->  { z }  C_  ( y  i^i 
A ) )
74, 6bitr4i 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  { z } 
C_  A )  <->  z  e.  ( y  i^i  A
) )
83, 7sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  ( y  i^i  A
) )
9 ne0i 3737 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
A )  ->  (
y  i^i  A )  =/=  (/) )
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  ( y  i^i  A )  =/=  (/) )
11 inss2 3653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  i^i  A )  C_  A
12 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
1312inex1 4544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  i^i  A )  e. 
_V
1413epfrc 4820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  ( y  i^i  A
)  C_  A  /\  ( y  i^i  A
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  (
y  i^i  A )
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )
1511, 14mp3an2 1352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  ( y  i^i  A
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  (
y  i^i  A )
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )
16 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( y  i^i 
A )  <->  ( x  e.  y  /\  x  e.  A ) )
1716anbi1i 701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  x  e.  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) )
18 anass 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  x  e.  A
)  /\  ( (
y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/) ) 
<->  ( x  e.  y  /\  ( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/) ) ) )
1917, 18bitri 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) ) )
20 n0 3741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( x  i^i  A
) )
21 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
2221sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  w  e.  x )
2322ancri 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  (
w  e.  x  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) ) )
24 trel 4504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  x  e.  y )  ->  w  e.  y ) )
25 inass 3642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  ( y  i^i  ( A  i^i  x ) )
26 incom 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A  i^i  x )  =  ( x  i^i  A
)
2726ineq2i 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  i^i  ( A  i^i  x ) )  =  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
)
2825, 27eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
)
2928eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  <->  w  e.  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
) )
30 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  ( y  i^i  ( x  i^i  A
) )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A
) ) )
3129, 30bitr2i 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  <->  w  e.  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
) )
32 ne0i 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  e.  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  ->  (
( y  i^i  A
)  i^i  x )  =/=  (/) )
3331, 32sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) )
3433ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  e.  y  ->  (
w  e.  ( x  i^i  A )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) )
3524, 34syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  x  e.  y )  ->  ( w  e.  ( x  i^i  A )  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
3635expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  (
w  e.  ( x  i^i  A )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
3736com34 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  x  ->  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  (
x  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
3837impd 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
3923, 38syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  ( x  i^i  A
)  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4039exlimdv 1779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Tr  y  ->  ( E. w  w  e.  (
x  i^i  A )  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4120, 40syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  i^i  A )  =/=  (/)  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4241com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Tr  y  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( x  i^i  A )  =/=  (/)  ->  ( (
y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4342imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  i^i  A
)  =/=  (/)  ->  (
( y  i^i  A
)  i^i  x )  =/=  (/) ) )
4443necon4d 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/)  ->  (
x  i^i  A )  =  (/) ) )
4544anim2d 569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A
)  =  (/) ) ) )
4645expimpd 608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  e.  y  /\  ( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
4719, 46syl5bi 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A
)  =  (/) ) ) )
4847reximdv2 2858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  y  ->  ( E. x  e.  ( y  i^i  A ) ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/)  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
4915, 48syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  y  ->  ( (  _E  Fr  A  /\  (
y  i^i  A )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
5049expcomd 440 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  y  ->  ( (
y  i^i  A )  =/=  (/)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
5110, 50syl5 33 . . . . . . . 8  |-  ( Tr  y  ->  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
5251expd 438 . . . . . . 7  |-  ( Tr  y  ->  ( {
z }  C_  y  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) ) )
5352impcom 432 . . . . . 6  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  Tr  y )  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
54533adant3 1028 . . . . 5  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  Tr  y  /\  A. w ( ( { z }  C_  w  /\  Tr  w )  -> 
y  C_  w )
)  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
55 snex 4641 . . . . . 6  |-  { z }  e.  _V
5655tz9.1 8213 . . . . 5  |-  E. y
( { z } 
C_  y  /\  Tr  y  /\  A. w ( ( { z } 
C_  w  /\  Tr  w )  ->  y  C_  w ) )
5754, 56exlimiiv 1777 . . . 4  |-  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
5857exlimiv 1776 . . 3  |-  ( E. z  z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
591, 58sylbi 199 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
6059impcom 432 1  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   Tr wtr 4497    _E cep 4743    Fr wfr 4790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128
This theorem is referenced by:  zfregs  8216
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