Theorem epfrs 7939

Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on A), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 7940. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
epfrs	|- ( ( _E Fr A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem epfrs

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3634	. . 3 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
2		snex 4521	. . . . . 6 |- { z } e. _V
3	2	tz9.1 7937	. . . . 5 |- E. y ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) )
4		snssi 4005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. A -> { z } C_ A )
5	4	anim2i 564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) )
6		ssin 3560	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) <-> { z } C_ ( y i^i A ) )
7		vex 2965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
8	7	snss 3987	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( y i^i A ) <-> { z } C_ ( y i^i A ) )
9	6, 8	bitr4i 252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) <-> z e. ( y i^i A ) )
10	5, 9	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> z e. ( y i^i A ) )
11		ne0i 3631	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( y i^i A ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
13		inss2 3559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y i^i A ) C_ A
14		vex 2965	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
15	14	inex1 4421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y i^i A ) e. _V
16	15	epfrc 4693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) C_ A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) )
17	13, 16	mp3an2 1295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) )
18		elin 3527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( y i^i A ) <-> ( x e. y /\ x e. A ) )
19	18	anbi1i 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( ( x e. y /\ x e. A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) )
20		anass 642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. y /\ x e. A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) )
21	19, 20	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) )
22		n0 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x i^i A ) =/= (/) <-> E. w w e. ( x i^i A ) )
23		inss1 3558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x i^i A ) C_ x
24	23	sseli 3340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. ( x i^i A ) -> w e. x )
25	24	ancri 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. ( x i^i A ) -> ( w e. x /\ w e. ( x i^i A ) ) )
26		trel 4380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ x e. y ) -> w e. y ) )
27		inass 3548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( y i^i A ) i^i x ) = ( y i^i ( A i^i x ) )
28		incom 3531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( A i^i x ) = ( x i^i A )
29	28	ineq2i 3537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( y i^i ( A i^i x ) ) = ( y i^i ( x i^i A ) )
30	27, 29	eqtri 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( y i^i A ) i^i x ) = ( y i^i ( x i^i A ) )
31	30	eleq2i 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) <-> w e. ( y i^i ( x i^i A ) ) )
32		elin 3527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w e. ( y i^i ( x i^i A ) ) <-> ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) )
33	31, 32	bitr2i 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) <-> w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) )
34		ne0i 3631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) )
35	33, 34	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) )
36	35	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w e. y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) )
37	26, 36	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ x e. y ) -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
38	37	exp3a 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Tr y -> ( w e. x -> ( x e. y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
39	38	com34 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Tr y -> ( w e. x -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
40	39	imp3a 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ w e. ( x i^i A ) ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
41	25, 40	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Tr y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
42	41	exlimdv 1689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Tr y -> ( E. w w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
43	22, 42	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Tr y -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
44	43	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Tr y -> ( x e. y -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
45	44	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) )
46	45	necon4d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) -> ( x i^i A ) = (/) ) )
47	46	anim2d 560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
48	47	expimpd 598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Tr y -> ( ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
49	21, 48	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Tr y -> ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
50	49	reximdv2 2815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr y -> ( E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
51	17, 50	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( Tr y -> ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
52	51	exp3acom23 1418	. . . . . . . . . 10 |- ( Tr y -> ( ( y i^i A ) =/= (/) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
53	12, 52	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( Tr y -> ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
54	53	exp3a 436	. . . . . . . 8 |- ( Tr y -> ( { z } C_ y -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) ) )
55	54	impcom 430	. . . . . . 7 |- ( ( { z } C_ y /\ Tr y ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
56	55	3adant3 1001	. . . . . 6 |- ( ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
57	56	exlimiv 1687	. . . . 5 |- ( E. y ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
58	3, 57	ax-mp 5	. . . 4 |- ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
59	58	exlimiv 1687	. . 3 |- ( E. z z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
60	1, 59	sylbi 195	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
61	60	impcom 430	1 |- ( ( _E Fr A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 958   A.wal 1360   = wceq 1362   E.wex 1589   e. wcel 1755   =/= wne 2596   E.wrex 2706   i^i cin 3315   C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   Tr wtr 4373   _E cep 4617   Fr wfr 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852

This theorem is referenced by:  zfregs  7940