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Theorem epfrs 7623
Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on  A), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 7624. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
epfrs  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem epfrs
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3597 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
2 snex 4365 . . . . . 6  |-  { z }  e.  _V
32tz9.1 7621 . . . . 5  |-  E. y
( { z } 
C_  y  /\  Tr  y  /\  A. w ( ( { z } 
C_  w  /\  Tr  w )  ->  y  C_  w ) )
4 snssi 3902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  { z }  C_  A )
54anim2i 553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  ( {
z }  C_  y  /\  { z }  C_  A ) )
6 ssin 3523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  { z } 
C_  A )  <->  { z }  C_  ( y  i^i 
A ) )
7 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
87snss 3886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
A )  <->  { z }  C_  ( y  i^i 
A ) )
96, 8bitr4i 244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  { z } 
C_  A )  <->  z  e.  ( y  i^i  A
) )
105, 9sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  ( y  i^i  A
) )
11 ne0i 3594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
A )  ->  (
y  i^i  A )  =/=  (/) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  ( y  i^i  A )  =/=  (/) )
13 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  i^i  A )  C_  A
14 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
1514inex1 4304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  i^i  A )  e. 
_V
1615epfrc 4528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  ( y  i^i  A
)  C_  A  /\  ( y  i^i  A
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  (
y  i^i  A )
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )
1713, 16mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  ( y  i^i  A
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  (
y  i^i  A )
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )
18 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( y  i^i 
A )  <->  ( x  e.  y  /\  x  e.  A ) )
1918anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  x  e.  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) )
20 anass 631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  x  e.  A
)  /\  ( (
y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/) ) 
<->  ( x  e.  y  /\  ( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/) ) ) )
2119, 20bitri 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) ) )
22 n0 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( x  i^i  A
) )
23 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
2423sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  w  e.  x )
2524ancri 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  (
w  e.  x  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) ) )
26 trel 4269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  x  e.  y )  ->  w  e.  y ) )
27 inass 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  ( y  i^i  ( A  i^i  x ) )
28 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( A  i^i  x )  =  ( x  i^i  A
)
2928ineq2i 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  i^i  ( A  i^i  x ) )  =  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
)
3027, 29eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
)
3130eleq2i 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  <->  w  e.  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
) )
32 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  ( y  i^i  ( x  i^i  A
) )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A
) ) )
3331, 32bitr2i 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  <->  w  e.  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
) )
34 ne0i 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  ->  (
( y  i^i  A
)  i^i  x )  =/=  (/) )
3533, 34sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) )
3635ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  y  ->  (
w  e.  ( x  i^i  A )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) )
3726, 36syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  x  e.  y )  ->  ( w  e.  ( x  i^i  A )  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
3837exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  (
w  e.  ( x  i^i  A )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
3938com34 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  x  ->  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  (
x  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
4039imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4125, 40syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  ( x  i^i  A
)  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4241exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Tr  y  ->  ( E. w  w  e.  (
x  i^i  A )  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4322, 42syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  i^i  A )  =/=  (/)  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4443com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Tr  y  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( x  i^i  A )  =/=  (/)  ->  ( (
y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4544imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  i^i  A
)  =/=  (/)  ->  (
( y  i^i  A
)  i^i  x )  =/=  (/) ) )
4645necon4d 2630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/)  ->  (
x  i^i  A )  =  (/) ) )
4746anim2d 549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A
)  =  (/) ) ) )
4847expimpd 587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  e.  y  /\  ( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
4921, 48syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A
)  =  (/) ) ) )
5049reximdv2 2775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  y  ->  ( E. x  e.  ( y  i^i  A ) ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/)  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
5117, 50syl5 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  y  ->  ( (  _E  Fr  A  /\  (
y  i^i  A )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
5251exp3acom23 1378 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  y  ->  ( (
y  i^i  A )  =/=  (/)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
5312, 52syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  y  ->  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
5453exp3a 426 . . . . . . . 8  |-  ( Tr  y  ->  ( {
z }  C_  y  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) ) )
5554impcom 420 . . . . . . 7  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  Tr  y )  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
56553adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  Tr  y  /\  A. w ( ( { z }  C_  w  /\  Tr  w )  -> 
y  C_  w )
)  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
5756exlimiv 1641 . . . . 5  |-  ( E. y ( { z }  C_  y  /\  Tr  y  /\  A. w
( ( { z }  C_  w  /\  Tr  w )  ->  y  C_  w ) )  -> 
( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
583, 57ax-mp 8 . . . 4  |-  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
5958exlimiv 1641 . . 3  |-  ( E. z  z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
601, 59sylbi 188 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
6160impcom 420 1  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   Tr wtr 4262    _E cep 4452    Fr wfr 4498
This theorem is referenced by:  zfregs  7624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627
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