MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entri Structured version   Unicode version

Theorem entri 7566
Description: A chained equinumerosity inference. (Contributed by NM, 25-Sep-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
entri.1  |-  A  ~~  B
entri.2  |-  B  ~~  C
Assertion
Ref Expression
entri  |-  A  ~~  C

Proof of Theorem entri
StepHypRef Expression
1 entri.1 . 2  |-  A  ~~  B
2 entri.2 . 2  |-  B  ~~  C
3 entr 7564 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )
41, 2, 3mp2an 672 1  |-  A  ~~  C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 4447    ~~ cen 7510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-er 7308  df-en 7514
This theorem is referenced by:  entr2i  7567  entr3i  7568  entr4i  7569  infxpenc2  8395  infxpenc2OLD  8399  cfpwsdom  8955  hashxplem  12453  xpnnen  13799  xpomenOLD  13801  qnnen  13804  rpnnen  13817  rexpen  13818  odhash  16390  cygctb  16685  met2ndci  20760  re2ndc  21041  iscmet3  21467  dyadmbl  21744  opnmblALT  21747  mbfimaopnlem  21797  aannenlem3  22460  mblfinlem1  29628  heiborlem3  29912  heibor  29920  irrapx1  30368
  Copyright terms: Public domain W3C validator