MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entr Structured version   Unicode version

Theorem entr 7557
Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
entr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )

Proof of Theorem entr
StepHypRef Expression
1 ener 7552 . . . 4  |-  ~~  Er  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ~~  Er  _V )
32ertr 7316 . 2  |-  ( T. 
->  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C
)  ->  A  ~~  C ) )
43trud 1383 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   T. wtru 1375   _Vcvv 3106   class class class wbr 4440    Er wer 7298    ~~ cen 7503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-er 7301  df-en 7507
This theorem is referenced by:  entri  7559  en2sn  7585  xpsnen2g  7600  omxpen  7609  enen1  7647  enen2  7648  map2xp  7677  pwen  7680  ssenen  7681  phplem4  7689  php3  7693  snnen2o  7696  fineqvlem  7724  ssfi  7730  en1eqsn  7739  dif1enOLD  7741  dif1en  7742  unfi  7776  unxpwdom2  8003  infdifsn  8062  infdiffi  8063  karden  8302  xpnum  8321  cardidm  8329  ficardom  8331  carden2a  8336  carden2b  8337  isinffi  8362  pm54.43  8370  pr2ne  8372  en2eqpr  8374  en2eleq  8375  infxpenlem  8380  infxpidm2  8383  mappwen  8482  finnisoeu  8483  cdaen  8542  cdaenun  8543  cda1dif  8545  cdaassen  8551  mapcdaen  8553  pwcdaen  8554  infcda1  8562  pwcdaidm  8564  cardacda  8567  ficardun  8571  pwsdompw  8573  infxp  8584  infmap2  8587  ackbij1lem5  8593  ackbij1lem9  8597  ackbij1b  8608  fin4en1  8678  isfin4-3  8684  fin23lem23  8695  domtriomlem  8811  axcclem  8826  carden  8915  alephadd  8941  gchcdaidm  9035  gchxpidm  9036  gchpwdom  9037  gchhar  9046  tskuni  9150  fzen2  12035  isprm2lem  14072  hashdvds  14153  unbenlem  14274  unben  14275  4sqlem11  14321  pmtrfconj  16280  psgnunilem1  16307  odinf  16374  dfod2  16375  sylow2blem1  16429  sylow2  16435  frlmisfrlm  18643  hmphindis  20026  dyadmbl  21737  volmeas  27829  sconpi1  28310  lzenom  30294  fiphp3d  30344  frlmpwfi  30639  isnumbasgrplem3  30647  fiuneneq  30748
  Copyright terms: Public domain W3C validator