Theorem entr 5473

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92.

Assertion

Ref	Expression
entr	|- ((A ~~ B /\ B ~~ C) -> A ~~ C)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 5431	. 2 |- Rel ~~
2		visset 2295	. . 3 |- x e. _V
3		visset 2295	. . 3 |- y e. _V
4		visset 2295	. . 3 |- z e. _V
5		ener 5469	. . 3 |- Er ~~
6	2, 3, 4, 5	ertr 5332	. 2 |- ((x ~~ y /\ y ~~ z) -> x ~~ z)
7	2	enref 5450	. 2 |- x ~~ x
8	1, 6, 7	vtoclrbr 4033	1 |- ((A ~~ B /\ B ~~ C) -> A ~~ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   class class class wbr 3338   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  entri 5475  en2sn 5490  sdomdomtr 5532  ensdomtr 5534  domsdomtr 5539  enen1 5540  enen2 5541  xpen 5582  ssenen 5598  phplem4 5605  php3 5609  isfinite1 5624  ssfi 5630  unfi 5644  pm54.43 5662  karden 5856  oncard 5978  ficardom 5979  carden 5981  nnacda 6088  nnaun 6089  unbenlem 8773  unben 8774  infxpidmlem1 8821  infxpidmlem12 8832  infcda 8836  infxp 8841  infmap2 8850  alephadd 8851  setwoe 10170  dif1en 10172  dif1enOLD 10173  indexfi 10174  isprm2lem 13774  unpde2eg22 14407  set2elt 14408  top2usne 14898  homindlem2 14899  homindlem3 14900  cptarc 15242  tarsuc2 15245  carinttar 15279  enf1f1o 15720  indexfiOLD 15755

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-er 5318  df-en 5427

Copyright terms: Public domain