MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entr Structured version   Unicode version

Theorem entr 7361
Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
entr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )

Proof of Theorem entr
StepHypRef Expression
1 ener 7356 . . . 4  |-  ~~  Er  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ~~  Er  _V )
32ertr 7116 . 2  |-  ( T. 
->  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C
)  ->  A  ~~  C ) )
43trud 1378 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   T. wtru 1370   _Vcvv 2972   class class class wbr 4292    Er wer 7098    ~~ cen 7307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-er 7101  df-en 7311
This theorem is referenced by:  entri  7363  en2sn  7389  xpsnen2g  7404  omxpen  7413  enen1  7451  enen2  7452  map2xp  7481  pwen  7484  ssenen  7485  phplem4  7493  php3  7497  fineqvlem  7527  ssfi  7533  en1eqsn  7542  dif1enOLD  7544  dif1en  7545  unfi  7579  unxpwdom2  7803  infdifsn  7862  infdiffi  7863  karden  8102  xpnum  8121  cardidm  8129  ficardom  8131  carden2a  8136  carden2b  8137  isinffi  8162  pm54.43  8170  pr2ne  8172  en2eqpr  8174  en2eleq  8175  infxpenlem  8180  infxpidm2  8183  mappwen  8282  finnisoeu  8283  cdaen  8342  cdaenun  8343  cda1dif  8345  cdaassen  8351  mapcdaen  8353  pwcdaen  8354  infcda1  8362  pwcdaidm  8364  cardacda  8367  ficardun  8371  pwsdompw  8373  infxp  8384  infmap2  8387  ackbij1lem5  8393  ackbij1lem9  8397  ackbij1b  8408  fin4en1  8478  isfin4-3  8484  fin23lem23  8495  domtriomlem  8611  axcclem  8626  carden  8715  alephadd  8741  gchcdaidm  8835  gchxpidm  8836  gchpwdom  8837  gchhar  8846  tskuni  8950  fzen2  11791  isprm2lem  13770  hashdvds  13850  unbenlem  13969  unben  13970  4sqlem11  14016  pmtrfconj  15972  psgnunilem1  15999  odinf  16064  dfod2  16065  sylow2blem1  16119  sylow2  16125  frlmisfrlm  18277  hmphindis  19370  dyadmbl  21080  volmeas  26647  sconpi1  27128  lzenom  29108  fiphp3d  29158  frlmpwfi  29453  isnumbasgrplem3  29461  fiuneneq  29562  snnen2o  30738
  Copyright terms: Public domain W3C validator