MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entr Unicode version

Theorem entr 7118
Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
entr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )

Proof of Theorem entr
StepHypRef Expression
1 ener 7113 . . . 4  |-  ~~  Er  _V
21a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  ~~  Er  _V )
32ertr 6879 . 2  |-  (  T. 
->  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C
)  ->  A  ~~  C ) )
43trud 1329 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1322   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172    Er wer 6861    ~~ cen 7065
This theorem is referenced by:  entri  7120  en2sn  7145  xpsnen2g  7160  omxpen  7169  enen1  7206  enen2  7207  map2xp  7236  pwen  7239  ssenen  7240  phplem4  7248  php3  7252  fineqvlem  7282  ssfi  7288  en1eqsn  7297  dif1enOLD  7299  dif1en  7300  unfi  7333  unxpwdom2  7512  infdifsn  7567  infdiffi  7568  karden  7775  xpnum  7794  cardidm  7802  ficardom  7804  carden2a  7809  carden2b  7810  isinffi  7835  pm54.43  7843  pr2ne  7845  en2eqpr  7847  infxpenlem  7851  infxpidm2  7854  mappwen  7949  finnisoeu  7950  cdaen  8009  cdaenun  8010  cda1dif  8012  cdaassen  8018  mapcdaen  8020  pwcdaen  8021  infcda1  8029  pwcdaidm  8031  cardacda  8034  ficardun  8038  pwsdompw  8040  infxp  8051  infmap2  8054  ackbij1lem5  8060  ackbij1lem9  8064  ackbij1b  8075  fin4en1  8145  isfin4-3  8151  fin23lem23  8162  domtriomlem  8278  axcclem  8293  carden  8382  alephadd  8408  gchcdaidm  8499  gchxpidm  8500  gchhar  8502  gchpwdom  8505  tskuni  8614  fzen2  11263  isprm2lem  13041  hashdvds  13119  unbenlem  13231  unben  13232  4sqlem11  13278  odinf  15154  dfod2  15155  sylow2blem1  15209  sylow2  15215  hmphindis  17782  dyadmbl  19445  volmeas  24540  sconpi1  24879  lzenom  26718  fiphp3d  26770  frlmpwfi  27130  isnumbasgrplem3  27138  en2eleq  27249  pmtrfconj  27275  psgnunilem1  27284  fiuneneq  27381
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-er 6864  df-en 7069
  Copyright terms: Public domain W3C validator