MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensymd Structured version   Unicode version

Theorem ensymd 7563
Description: Symmetry of equinumerosity. Deduction form of ensym 7561. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
ensymd.1  |-  ( ph  ->  A  ~~  B )
Assertion
Ref Expression
ensymd  |-  ( ph  ->  B  ~~  A )

Proof of Theorem ensymd
StepHypRef Expression
1 ensymd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  ~~  B )
2 ensym 7561 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  B  ~~  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4   class class class wbr 4447    ~~ cen 7510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-er 7308  df-en 7514
This theorem is referenced by:  f1imaeng  7572  f1imaen2g  7573  en2sn  7592  xpdom3  7612  omxpen  7616  mapdom2  7685  mapdom3  7686  limensuci  7690  phplem4  7696  php  7698  unxpdom2  7725  sucxpdom  7726  fiint  7793  marypha1lem  7889  infdifsn  8069  cnfcom2lem  8141  cnfcom2lemOLD  8149  cardidm  8336  cardnueq0  8341  carden2a  8343  card1  8345  cardsdomel  8351  isinffi  8369  en2eqpr  8381  infxpenlem  8387  infxpidm2  8390  alephnbtwn2  8449  alephsucdom  8456  mappwen  8489  finnisoeu  8490  cdaen  8549  cda1en  8551  cdaassen  8558  xpcdaen  8559  infcda1  8569  pwcda1  8570  onacda  8573  cardacda  8574  cdanum  8575  ficardun  8578  pwsdompw  8580  infdif2  8586  infxp  8591  ackbij1lem5  8600  cfss  8641  ominf4  8688  isfin4-3  8691  fin23lem27  8704  alephsuc3  8951  canthp1lem1  9026  gchcda1  9030  gchinf  9031  pwfseqlem5  9037  pwcdandom  9041  gchcdaidm  9042  gchxpidm  9043  gchhar  9053  inttsk  9148  tskcard  9155  r1tskina  9156  tskuni  9157  hashkf  12369  fz1isolem  12470  isercolllem2  13444  summolem2a  13493  summolem2  13494  zsum  13496  4sqlem11  14325  mreexexd  14896  orbsta2  16144  psgnunilem1  16311  frlmisfrlm  18647  frlmiscvec  18648  ovoliunlem1  21645  prodmolem2a  28640  prodmolem2  28641  zprod  28643  heicant  29624  mblfinlem1  29626  eldioph2lem1  30295  isnumbasgrplem3  30658  fiuneneq  30759
  Copyright terms: Public domain W3C validator