Theorem ensymb 7635

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensymb	|- ( A ~~ B <-> B ~~ A )

Proof of Theorem ensymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 7634	. . . 4 |- ~~ Er _V
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ~~ Er _V )
3	2	ersymb 7395	. 2 |- ( T. -> ( A ~~ B <-> B ~~ A ) )
4	3	trud 1461	1 |- ( A ~~ B <-> B ~~ A )

Syntax hints:   <-> wb 189   T. wtru 1453   _Vcvv 3031   class class class wbr 4395   Er wer 7378   ~~ cen 7584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-er 7381  df-en 7588

This theorem is referenced by:  ensym  7636  0sdomg  7719  snnen2o  7779  cantnfp1lem2  8202  cantnflem1  8212  iscard2  8428  dffin1-5  8836  pmtrsn  17238  volmeas  29127  carsgclctunlem3  29225  isnumbasgrplem1  36031  rp-isfinite6  36234