Theorem ensymb 7600

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensymb	|- ( A ~~ B <-> B ~~ A )

Proof of Theorem ensymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 7599	. . . 4 |- ~~ Er _V
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ~~ Er _V )
3	2	ersymb 7361	. 2 |- ( T. -> ( A ~~ B <-> B ~~ A ) )
4	3	trud 1414	1 |- ( A ~~ B <-> B ~~ A )

Syntax hints:   <-> wb 184   T. wtru 1406   _Vcvv 3058   class class class wbr 4394   Er wer 7344   ~~ cen 7550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-er 7347  df-en 7554

This theorem is referenced by:  ensym  7601  0sdomg  7683  snnen2o  7743  cantnfp1lem2  8129  cantnflem1  8139  cantnfp1lem2OLD  8155  cantnflem1OLD  8162  iscard2  8388  dffin1-5  8799  pmtrsn  16866  volmeas  28666  carsgclctunlem3  28754  isnumbasgrplem1  35394  rp-isfinite6  35590