Theorem ensymb 7617

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensymb	|- ( A ~~ B <-> B ~~ A )

Proof of Theorem ensymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 7616	. . . 4 |- ~~ Er _V
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ~~ Er _V )
3	2	ersymb 7377	. 2 |- ( T. -> ( A ~~ B <-> B ~~ A ) )
4	3	trud 1453	1 |- ( A ~~ B <-> B ~~ A )

Syntax hints:   <-> wb 188   T. wtru 1445   _Vcvv 3045   class class class wbr 4402   Er wer 7360   ~~ cen 7566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-er 7363  df-en 7570

This theorem is referenced by:  ensym  7618  0sdomg  7701  snnen2o  7761  cantnfp1lem2  8184  cantnflem1  8194  iscard2  8410  dffin1-5  8818  pmtrsn  17160  volmeas  29054  carsgclctunlem3  29152  isnumbasgrplem1  35960  rp-isfinite6  36163