MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensym Structured version   Unicode version

Theorem ensym 7461
Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ensym  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )

Proof of Theorem ensym
StepHypRef Expression
1 ensymb 7460 . 2  |-  ( A 
~~  B  <->  B  ~~  A )
21biimpi 194 1  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4   class class class wbr 4393    ~~ cen 7410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-er 7204  df-en 7414
This theorem is referenced by:  ensymi  7462  ensymd  7463  sbthb  7535  domnsym  7540  sdomdomtr  7547  domsdomtr  7549  enen1  7554  enen2  7555  domen1  7556  domen2  7557  sdomen1  7558  sdomen2  7559  domtriord  7560  xpen  7577  pwen  7587  nneneq  7597  php2  7599  php3  7600  ominf  7629  fineqvlem  7631  en1eqsn  7646  dif1enOLD  7648  dif1en  7649  enp1i  7651  findcard3  7659  isfinite2  7674  nnsdomg  7675  domunfican  7688  infcntss  7689  fiint  7692  wdomen1  7895  wdomen2  7896  unxpwdom2  7907  karden  8206  finnum  8222  carden2b  8241  fidomtri2  8268  cardmin2  8272  pr2ne  8276  en2eleq  8279  infxpenlem  8284  acnen  8327  acnen2  8329  infpwfien  8336  alephordi  8348  alephinit  8369  dfac12lem2  8417  dfac12r  8419  uncdadom  8444  cdacomen  8454  cdainf  8465  pwsdompw  8477  infmap2  8491  ackbij1b  8512  cflim2  8536  fin4en1  8582  domfin4  8584  fin23lem25  8597  fin23lem23  8599  enfin1ai  8657  fin67  8668  isfin7-2  8669  fin1a2lem11  8683  axcc2lem  8709  axcclem  8730  numthcor  8767  carden  8819  sdomsdomcard  8828  canthnum  8920  canthwe  8922  canthp1lem2  8924  canthp1  8925  pwxpndom2  8936  gchcdaidm  8939  gchxpidm  8940  gchpwdom  8941  inawinalem  8960  grudomon  9088  hashfn  12249  isprm2lem  13881  ramub2  14186  dfod2  16178  sylow2blem1  16232  znhash  18109  hauspwdom  19230  rectbntr0  20534  ovolctb  21098  dyadmbl  21206  eupafi  23737  derangen  27197  finminlem  28654  pellexlem4  29314  pellexlem5  29315  pellex  29317
  Copyright terms: Public domain W3C validator