Theorem enssdom 5442

Description: Equinumerosity implies dominance.

Assertion

Ref	Expression
enssdom	|- ~~ C_ ~<_

Proof of Theorem enssdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 5431	. 2 |- Rel ~~
2		f1of1 4634	. . . . 5 |- (f:x-1-1-onto->y -> f:x-1-1->y)
3	2	eximi 1387	. . . 4 |- (E.f f:x-1-1-onto->y -> E.f f:x-1-1->y)
4		opabid 3557	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y} <-> E.f f:x-1-1-onto->y)
5		opabid 3557	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y} <-> E.f f:x-1-1->y)
6	3, 4, 5	3imtr4i 236	. . 3 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y} -> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y})
7		df-en 5427	. . . 4 |- ~~ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y}
8	7	eleq2i 1961	. . 3 |- (<.x, y>. e. ~~ <-> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y})
9		df-dom 5428	. . . 4 |- ~<_ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y}
10	9	eleq2i 1961	. . 3 |- (<.x, y>. e. ~<_ <-> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y})
11	6, 8, 10	3imtr4i 236	. 2 |- (<.x, y>. e. ~~ -> <.x, y>. e. ~<_ )
12	1, 11	relssi 4078	1 |- ~~ C_ ~<_

Syntax hints:   e. wcel 1300  E.wex 1326   C_ wss 2593  <.cop 3046  {copab 3395  -1-1->wf1 3995  -1-1-onto->wf1o 3997   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424

This theorem is referenced by:  dfdom2 5443  endom 5444

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-f1o 4013  df-en 5427  df-dom 5428

Copyright terms: Public domain