MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enssdom Structured version   Unicode version

Theorem enssdom 7552
Description: Equinumerosity implies dominance. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
enssdom  |-  ~~  C_  ~<_

Proof of Theorem enssdom
Dummy variables  x  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 7533 . 2  |-  Rel  ~~
2 f1of1 5821 . . . . 5  |-  ( f : x -1-1-onto-> y  ->  f : x -1-1-> y )
32eximi 1635 . . . 4  |-  ( E. f  f : x -1-1-onto-> y  ->  E. f  f : x -1-1-> y )
4 opabid 4760 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }  <->  E. f  f :
x
-1-1-onto-> y )
5 opabid 4760 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-> y }  <->  E. f  f : x -1-1-> y )
63, 4, 53imtr4i 266 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }  ->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x
-1-1-> y } )
7 df-en 7529 . . . 4  |-  ~~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }
87eleq2i 2545 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ~~  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-onto-> y } )
9 df-dom 7530 . . . 4  |-  ~<_  =  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-> y }
109eleq2i 2545 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e. 
~<_ 
<-> 
<. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-> y } )
116, 8, 103imtr4i 266 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ~~  ->  <. x ,  y >.  e.  ~<_  )
121, 11relssi 5100 1  |-  ~~  C_  ~<_
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   E.wex 1596    e. wcel 1767    C_ wss 3481   <.cop 4039   {copab 4510   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593    ~~ cen 7525    ~<_ cdom 7526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-opab 4512  df-xp 5011  df-rel 5012  df-f1o 5601  df-en 7529  df-dom 7530
This theorem is referenced by:  dfdom2  7553  endom  7554
  Copyright terms: Public domain W3C validator