Theorem ensn1g 4512

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one.

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	|- (A e. B -> {A} ~~ 1o)

Proof of Theorem ensn1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 2462	. . 3 |- (x = A -> {x} = {A})
2	1	breq1d 2679	. 2 |- (x = A -> ({x} ~~ 1o <-> {A} ~~ 1o))
3		visset 1851	. . 3 |- x e. V
4	3	ensn1 4511	. 2 |- {x} ~~ 1o
5	2, 4	vtoclg 1885	1 |- (A e. B -> {A} ~~ 1o)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 988   e. wcel 990  {csn 2454   class class class wbr 2669  1oc1o 4212   ~~ cen 4451

This theorem is referenced by:  en2sn 4518  snfi 4519  unpde2eg2 10680  setwoe 10682

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-ral 1687  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-uni 2552  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-suc 3009  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-1o 4217  df-en 4455

Copyright terms: Public domain