Theorem ensn1g 5484

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one.

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	|- (A e. B -> {A} ~~ 1o)

Proof of Theorem ensn1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3054	. . 3 |- (x = A -> {x} = {A})
2	1	breq1d 3348	. 2 |- (x = A -> ({x} ~~ 1o <-> {A} ~~ 1o))
3		visset 2295	. . 3 |- x e. _V
4	3	ensn1 5483	. 2 |- {x} ~~ 1o
5	2, 4	vtoclg 2346	1 |- (A e. B -> {A} ~~ 1o)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  {csn 3044   class class class wbr 3338  1oc1o 5172   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  en2sn 5490  snfi 5491  setwoe 10170  uznzr 10416  boe 14350  unpde2eg2 14406  unpam2 14424

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-1o 5177  df-en 5427

Copyright terms: Public domain