Theorem ensn1 5483

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one.

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	|- {A} ~~ 1o

Proof of Theorem ensn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 |- A e. _V
2		0ex 3446	. . . . 5 |- (/) e. _V
3	1, 2	f1osn 4674	. . . 4 |- {<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)}
4		snex 3492	. . . . 5 |- {<.A, (/)>.} e. _V
5		f1oeq1 4630	. . . . 5 |- (f = {<.A, (/)>.} -> (f:{A}-1-1-onto->{(/)} <-> {<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)}))
6	4, 5	cla4ev 2371	. . . 4 |- ({<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)} -> E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)})
7	3, 6	ax-mp 7	. . 3 |- E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)}
8		p0ex 3495	. . . 4 |- {(/)} e. _V
9	8	bren 5436	. . 3 |- ({A} ~~ {(/)} <-> E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)})
10	7, 9	mpbir 207	. 2 |- {A} ~~ {(/)}
11		df1o2 5185	. 2 |- 1o = {(/)}
12	10, 11	breqtrri 3362	1 |- {A} ~~ 1o

Syntax hints:   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  {csn 3044  <.cop 3046   class class class wbr 3338  -1-1-onto->wf1o 3997  1oc1o 5172   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  ensn1g 5484  en1 5485  0sdom1dom 5618  pm54.43 5662  sucxpdom 5998  cda1en 6076  infpss 8843  on1el4 10413  1nprm 13769  isprm2lem 13774  top1 14896  top2ind 14897  top2usne 14898  homindlem2 14899

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-1o 5177  df-en 5427

Copyright terms: Public domain