MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensn1 Structured version   Unicode version

Theorem ensn1 7572
Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)
Hypothesis
Ref Expression
ensn1.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ensn1  |-  { A }  ~~  1o

Proof of Theorem ensn1
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensn1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 0ex 4569 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
31, 2f1osn 5835 . . . 4  |-  { <. A ,  (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }
4 snex 4678 . . . . 5  |-  { <. A ,  (/) >. }  e.  _V
5 f1oeq1 5789 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. A ,  (/)
>. }  ->  ( f : { A } -1-1-onto-> { (/) }  <->  { <. A ,  (/)
>. } : { A }
-1-1-onto-> { (/) } ) )
64, 5spcev 3198 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }  ->  E. f 
f : { A }
-1-1-onto-> { (/) } )
73, 6ax-mp 5 . . 3  |-  E. f 
f : { A }
-1-1-onto-> { (/) }
8 bren 7518 . . 3  |-  ( { A }  ~~  { (/)
}  <->  E. f  f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
97, 8mpbir 209 . 2  |-  { A }  ~~  { (/) }
10 df1o2 7134 . 2  |-  1o  =  { (/) }
119, 10breqtrri 4464 1  |-  { A }  ~~  1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   E.wex 1617    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   {csn 4016   <.cop 4022   class class class wbr 4439   -1-1-onto->wf1o 5569   1oc1o 7115    ~~ cen 7506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-1o 7122  df-en 7510
This theorem is referenced by:  ensn1g  7573  en1  7575  fodomfi  7791  pm54.43  8372  1nprm  14309  isprm2lem  14311  gex1  16813  sylow2a  16841  0frgp  16999  en1top  19656  en2top  19657  t1conperf  20106  ptcmplem2  20722  xrge0tsms2  21509  sconpi1  28951
  Copyright terms: Public domain W3C validator