MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensn1 Structured version   Unicode version

Theorem ensn1 7470
Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)
Hypothesis
Ref Expression
ensn1.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ensn1  |-  { A }  ~~  1o

Proof of Theorem ensn1
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensn1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 0ex 4517 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
31, 2f1osn 5773 . . . 4  |-  { <. A ,  (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }
4 snex 4628 . . . . 5  |-  { <. A ,  (/) >. }  e.  _V
5 f1oeq1 5727 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. A ,  (/)
>. }  ->  ( f : { A } -1-1-onto-> { (/) }  <->  { <. A ,  (/)
>. } : { A }
-1-1-onto-> { (/) } ) )
64, 5spcev 3157 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }  ->  E. f 
f : { A }
-1-1-onto-> { (/) } )
73, 6ax-mp 5 . . 3  |-  E. f 
f : { A }
-1-1-onto-> { (/) }
8 bren 7416 . . 3  |-  ( { A }  ~~  { (/)
}  <->  E. f  f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
97, 8mpbir 209 . 2  |-  { A }  ~~  { (/) }
10 df1o2 7029 . 2  |-  1o  =  { (/) }
119, 10breqtrri 4412 1  |-  { A }  ~~  1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   E.wex 1587    e. wcel 1758   _Vcvv 3065   (/)c0 3732   {csn 3972   <.cop 3978   class class class wbr 4387   -1-1-onto->wf1o 5512   1oc1o 7010    ~~ cen 7404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pr 4626  ax-un 6469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3067  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-br 4388  df-opab 4446  df-id 4731  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-1o 7017  df-en 7408
This theorem is referenced by:  ensn1g  7471  en1  7473  fodomfi  7688  pm54.43  8268  1nprm  13867  isprm2lem  13869  gex1  16191  sylow2a  16219  0frgp  16377  en1top  18702  en2top  18703  t1conperf  19153  ptcmplem2  19738  xrge0tsms2  20525  sconpi1  27259
  Copyright terms: Public domain W3C validator