MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensdomtr Structured version   Unicode version

Theorem ensdomtr 7693
Description: Transitivity of equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ensdomtr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~<  C )  ->  A  ~<  C )

Proof of Theorem ensdomtr
StepHypRef Expression
1 endom 7582 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
2 domsdomtr 7692 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<  C )  ->  A  ~<  C )
31, 2sylan 471 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~<  C )  ->  A  ~<  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   class class class wbr 4397    ~~ cen 7553    ~<_ cdom 7554    ~< csdm 7555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559
This theorem is referenced by:  sdomen1  7701  sucxpdom  7766  f1finf1o  7783  findcard3  7799  isfinite2  7814  pm54.43  8415  infxpenlem  8425  alephnbtwn2  8487  alephordi  8489  alephsucdom  8494  pwsdompw  8618  infunsdom1  8627  cflim2  8677  fin23lem27  8742  cfpwsdom  8993  inawinalem  9099  inar1  9185  tskcard  9191  tskuni  9193  rpnnen  14171  resdomq  14188  aleph1re  14189  aleph1irr  14190  1nprm  14433
  Copyright terms: Public domain W3C validator