MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensdomtr Structured version   Unicode version

Theorem ensdomtr 7645
Description: Transitivity of equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ensdomtr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~<  C )  ->  A  ~<  C )

Proof of Theorem ensdomtr
StepHypRef Expression
1 endom 7534 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
2 domsdomtr 7644 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<  C )  ->  A  ~<  C )
31, 2sylan 471 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~<  C )  ->  A  ~<  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   class class class wbr 4442    ~~ cen 7505    ~<_ cdom 7506    ~< csdm 7507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511
This theorem is referenced by:  sdomen1  7653  sucxpdom  7721  f1finf1o  7738  findcard3  7754  isfinite2  7769  pm54.43  8372  infxpenlem  8382  alephnbtwn2  8444  alephordi  8446  alephsucdom  8451  pwsdompw  8575  infunsdom1  8584  cflim2  8634  fin23lem27  8699  cfpwsdom  8950  inawinalem  9058  inar1  9144  tskcard  9150  tskuni  9152  rpnnen  13812  resdomq  13829  aleph1re  13830  aleph1irr  13831  1nprm  14072
  Copyright terms: Public domain W3C validator