Theorem enrefg 5449

Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92.

Assertion

Ref	Expression
enrefg	|- (A e. B -> A ~~ A)

Proof of Theorem enrefg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resiexg 4253	. . 3 |- (A e. B -> ( _I |` A) e. _V)
2		f1oi 4671	. . . 4 |- ( _I |` A):A-1-1-onto->A
3		f1oeq1 4630	. . . . 5 |- (f = ( _I |` A) -> (f:A-1-1-onto->A <-> ( _I |` A):A-1-1-onto->A))
4	3	cla4egv 2365	. . . 4 |- (( _I |` A) e. _V -> (( _I |` A):A-1-1-onto->A -> E.f f:A-1-1-onto->A))
5	2, 4	mpi 55	. . 3 |- (( _I |` A) e. _V -> E.f f:A-1-1-onto->A)
6	1, 5	syl 12	. 2 |- (A e. B -> E.f f:A-1-1-onto->A)
7		breng 5434	. 2 |- (A e. B -> (A ~~ A <-> E.f f:A-1-1-onto->A))
8	6, 7	mpbird 213	1 |- (A e. B -> A ~~ A)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338   _I cid 3582   |` cres 3988  -1-1-onto->wf1o 3997   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  enref 5450  eqeng 5451  domrefg 5452  f1oen2g 5453  unen 5493  sdomirr 5535  pwen 5597  onfin 5613  ssnnfi 5629  oncardval 5865  cardonle 5868  numth2 5947

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-en 5427

Copyright terms: Public domain