MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enreceq Structured version   Unicode version

Theorem enreceq 9472
Description: Equivalence class equality of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 29-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
enreceq  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ]  ~R  =  [ <. C ,  D >. ]  ~R  <->  ( A  +P.  D )  =  ( B  +P.  C ) ) )

Proof of Theorem enreceq
StepHypRef Expression
1 enrer 9471 . . . 4  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. )
)  ->  ~R  Er  ( P.  X.  P. ) )
3 opelxpi 4854 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
43adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. )
)  ->  <. A ,  B >.  e.  ( P. 
X.  P. ) )
52, 4erth 7392 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  ~R  <. C ,  D >.  <->  [ <. A ,  B >. ]  ~R  =  [ <. C ,  D >. ]  ~R  ) )
6 enrbreq 9470 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  ~R  <. C ,  D >.  <->  ( A  +P.  D )  =  ( B  +P.  C ) ) )
75, 6bitr3d 255 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ]  ~R  =  [ <. C ,  D >. ]  ~R  <->  ( A  +P.  D )  =  ( B  +P.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   <.cop 3977   class class class wbr 4394    X. cxp 4820  (class class class)co 6277    Er wer 7344   [cec 7345   P.cnp 9266    +P. cpp 9268    ~R cer 9271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-ec 7349  df-ni 9279  df-pli 9280  df-mi 9281  df-lti 9282  df-plpq 9315  df-mpq 9316  df-ltpq 9317  df-enq 9318  df-nq 9319  df-erq 9320  df-plq 9321  df-mq 9322  df-1nq 9323  df-rq 9324  df-ltnq 9325  df-np 9388  df-plp 9390  df-ltp 9392  df-enr 9462
This theorem is referenced by:  ltsrpr  9483  m1p1sr  9498  m1m1sr  9499  ltsosr  9500  0idsr  9503  1idsr  9504  00sr  9505  recexsrlem  9509  map2psrpr  9516
  Copyright terms: Public domain W3C validator