Theorem enp1i 7754

Description: Proof induction for en2i 7553 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
enp1i.1	|- M e. om
enp1i.2	|- N = suc M
enp1i.3	|- ( ( A \ { x } ) ~~ M -> ph )
enp1i.4	|- ( x e. A -> ( ph -> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
enp1i	|- ( A ~~ N -> E. x ps )

Distinct variable groups:   x, A   x, N

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)   M( x)

Proof of Theorem enp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsuceq0 4958	. . . . 5 |- suc M =/= (/)
2		breq1 4450	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( A ~~ N <-> (/) ~~ N ) )
3		enp1i.2	. . . . . . . 8 |- N = suc M
4		ensym 7564	. . . . . . . . 9 |- ( (/) ~~ N -> N ~~ (/) )
5		en0 7578	. . . . . . . . 9 |- ( N ~~ (/) <-> N = (/) )
6	4, 5	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( (/) ~~ N -> N = (/) )
7	3, 6	syl5eqr 2522	. . . . . . 7 |- ( (/) ~~ N -> suc M = (/) )
8	2, 7	syl6bi 228	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( A ~~ N -> suc M = (/) ) )
9	8	necon3ad 2677	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( suc M =/= (/) -> -. A ~~ N ) )
10	1, 9	mpi 17	. . . 4 |- ( A = (/) -> -. A ~~ N )
11	10	con2i 120	. . 3 |- ( A ~~ N -> -. A = (/) )
12		neq0 3795	. . 3 |- ( -. A = (/) <-> E. x x e. A )
13	11, 12	sylib 196	. 2 |- ( A ~~ N -> E. x x e. A )
14	3	breq2i 4455	. . . . 5 |- ( A ~~ N <-> A ~~ suc M )
15		enp1i.1	. . . . . . . 8 |- M e. om
16		dif1en 7752	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. om /\ A ~~ suc M /\ x e. A ) -> ( A \ { x } ) ~~ M )
17	15, 16	mp3an1 1311	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ suc M /\ x e. A ) -> ( A \ { x } ) ~~ M )
18		enp1i.3	. . . . . . 7 |- ( ( A \ { x } ) ~~ M -> ph )
19	17, 18	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A ~~ suc M /\ x e. A ) -> ph )
20	19	ex 434	. . . . 5 |- ( A ~~ suc M -> ( x e. A -> ph ) )
21	14, 20	sylbi 195	. . . 4 |- ( A ~~ N -> ( x e. A -> ph ) )
22		enp1i.4	. . . 4 |- ( x e. A -> ( ph -> ps ) )
23	21, 22	sylcom 29	. . 3 |- ( A ~~ N -> ( x e. A -> ps ) )
24	23	eximdv 1686	. 2 |- ( A ~~ N -> ( E. x x e. A -> E. x ps ) )
25	13, 24	mpd 15	1 |- ( A ~~ N -> E. x ps )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   \ cdif 3473   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447   suc csuc 4880   omcom 6679   ~~ cen 7513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-om 6680  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-fin 7520

This theorem is referenced by:  en2  7755  en3  7756  en4  7757