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Theorem enfixsn 7638
Description: Given two equipollent sets, a bijection can always be chosen which fixes a single point. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfixsn  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    f, X    f, Y

Proof of Theorem enfixsn
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 998 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  X  ~~  Y )
2 bren 7537 . . 3  |-  ( X 
~~  Y  <->  E. g 
g : X -1-1-onto-> Y )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  E. g  g : X
-1-1-onto-> Y )
4 relen 7533 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~~
54brrelex2i 5047 . . . . . . 7  |-  ( X 
~~  Y  ->  Y  e.  _V )
653ad2ant3 1019 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  Y  e.  _V )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  Y  e.  _V )
8 f1of 5822 . . . . . . 7  |-  ( g : X -1-1-onto-> Y  ->  g : X
--> Y )
98adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  g : X
--> Y )
10 simpl1 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  A  e.  X )
119, 10ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( g `  A )  e.  Y
)
12 simpl2 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  B  e.  Y )
13 difsnen 7611 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  ( g `  A
)  e.  Y  /\  B  e.  Y )  ->  ( Y  \  {
( g `  A
) } )  ~~  ( Y  \  { B } ) )
147, 11, 12, 13syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) 
~~  ( Y  \  { B } ) )
15 bren 7537 . . . 4  |-  ( ( Y  \  { ( g `  A ) } )  ~~  ( Y  \  { B }
)  <->  E. h  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) )
1614, 15sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  E. h  h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } ) )
17 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 A )  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( g `  A
)  e.  _V )
19 simpl2 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  B  e.  Y )
20 f1osng 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g `  A
)  e.  _V  /\  B  e.  Y )  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. } : { ( g `  A ) } -1-1-onto-> { B } )
2118, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. } : { ( g `  A ) } -1-1-onto-> { B } )
22 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } ) )
23 disjdif 3905 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ( g `  A
) }  i^i  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) )  =  (/)
2423a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { ( g `
 A ) }  i^i  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  (/) )
25 disjdif 3905 . . . . . . . . . 10  |-  ( { B }  i^i  ( Y  \  { B }
) )  =  (/)
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { B }  i^i  ( Y  \  { B } ) )  =  (/) )
27 f1oun 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( { <. (
g `  A ) ,  B >. } : {
( g `  A
) } -1-1-onto-> { B }  /\  h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } ) )  /\  ( ( { ( g `  A ) }  i^i  ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) )  =  (/)  /\  ( { B }  i^i  ( Y  \  { B } ) )  =  (/) ) )  ->  ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) : ( { ( g `  A ) }  u.  ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) ) )
2821, 22, 24, 26, 27syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : ( { ( g `  A
) }  u.  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) ) )
298ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
g : X --> Y )
30 simpl1 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  A  e.  X )
3129, 30ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( g `  A
)  e.  Y )
32 uncom 3653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { ( g `  A
) }  u.  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) )  =  ( ( Y  \  {
( g `  A
) } )  u. 
{ ( g `  A ) } )
33 difsnid 4179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g `  A )  e.  Y  ->  (
( Y  \  {
( g `  A
) } )  u. 
{ ( g `  A ) } )  =  Y )
3432, 33syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g `  A )  e.  Y  ->  ( { ( g `  A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  Y )
3531, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { ( g `
 A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  Y )
36 uncom 3653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { B }  u.  ( Y  \  { B }
) )  =  ( ( Y  \  { B } )  u.  { B } )
37 difsnid 4179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Y  ->  (
( Y  \  { B } )  u.  { B } )  =  Y )
3836, 37syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Y  ->  ( { B }  u.  ( Y  \  { B }
) )  =  Y )
3919, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) )  =  Y )
40 f1oeq23 5816 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( { ( g `
 A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  Y  /\  ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) )  =  Y )  ->  (
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : ( { ( g `  A
) }  u.  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) )  <->  ( { <. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
4135, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) : ( { ( g `  A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B }
) )  <->  ( { <. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
4228, 41mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : Y -1-1-onto-> Y )
43 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
g : X -1-1-onto-> Y )
44 f1oco 5844 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : Y -1-1-onto-> Y  /\  g : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
)  o.  g ) : X -1-1-onto-> Y )
4542, 43, 44syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g
) : X -1-1-onto-> Y )
46 f1ofn 5823 . . . . . . . . 9  |-  ( g : X -1-1-onto-> Y  ->  g  Fn  X )
4746ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
g  Fn  X )
48 fvco2 5949 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  Fn  X  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `
 ( g `  A ) ) )
4947, 30, 48syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `
 ( g `  A ) ) )
50 f1ofn 5823 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. } : { ( g `
 A ) } -1-1-onto-> { B }  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. }  Fn  { ( g `  A
) } )
5121, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. }  Fn  { ( g `  A ) } )
52 f1ofn 5823 . . . . . . . . 9  |-  ( h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } )  ->  h  Fn  ( Y  \  {
( g `  A
) } ) )
5352ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  h  Fn  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )
5417snid 4061 . . . . . . . . 9  |-  ( g `
 A )  e. 
{ ( g `  A ) }
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( g `  A
)  e.  { ( g `  A ) } )
56 fvun1 5945 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  Fn  { ( g `  A ) }  /\  h  Fn  ( Y  \  {
( g `  A
) } )  /\  ( ( { ( g `  A ) }  i^i  ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) )  =  (/)  /\  ( g `  A
)  e.  { ( g `  A ) } ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `  (
g `  A )
)  =  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. } `
 ( g `  A ) ) )
5751, 53, 24, 55, 56syl112anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `  (
g `  A )
)  =  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. } `
 ( g `  A ) ) )
58 fvsng 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g `  A
)  e.  _V  /\  B  e.  Y )  ->  ( { <. (
g `  A ) ,  B >. } `  (
g `  A )
)  =  B )
5918, 19, 58syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { <. (
g `  A ) ,  B >. } `  (
g `  A )
)  =  B )
6049, 57, 593eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  B )
61 snex 4694 . . . . . . . . 9  |-  { <. ( g `  A ) ,  B >. }  e.  _V
62 vex 3121 . . . . . . . . 9  |-  h  e. 
_V
6361, 62unex 6593 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  e. 
_V
64 vex 3121 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
6563, 64coex 6747 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  e. 
_V
66 f1oeq1 5813 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
f : X -1-1-onto-> Y  <->  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) : X -1-1-onto-> Y ) )
67 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
f `  A )  =  ( ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A ) )
6867eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
( f `  A
)  =  B  <->  ( (
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
)  o.  g ) `
 A )  =  B ) )
6966, 68anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B )  <-> 
( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  B ) ) )
7065, 69spcev 3210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g
) : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  B )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
7145, 60, 70syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
7271expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } )  ->  E. f
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B ) ) )
7372exlimdv 1700 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( E. h  h : ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } )  ->  E. f
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B ) ) )
7416, 73mpd 15 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  E. f
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B ) )
753, 74exlimddv 1702 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    u. cun 3479    i^i cin 3480   (/)c0 3790   {csn 4033   <.cop 4039   class class class wbr 4453    o. ccom 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594    ~~ cen 7525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-1o 7142  df-er 7323  df-en 7529
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