MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfin2i Structured version   Unicode version

Theorem enfin2i 8490
Description: II-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin2i  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinII  ->  B  e. FinII ) )

Proof of Theorem enfin2i
Dummy variables  f  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7319 . . 3  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
2 elpwi 3869 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P ~P B  ->  x  C_  ~P B
)
3 imauni 5963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f
" U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
)  =  U_ z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  ( f
" z )
4 vex 2975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  f  e. 
_V
5 imaexg 6515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " z )  e.  _V )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f
" z )  e. 
_V
76dfiun2 4204 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  ( f
" z )  = 
U. { w  |  E. z  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } w  =  (
f " z ) }
83, 7eqtri 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( f
" U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
)  =  U. {
w  |  E. z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } w  =  ( f " z
) }
9 imaeq2 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
f " y )  =  ( f "
z ) )
109eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
( f " y
)  e.  x  <->  ( f " z )  e.  x ) )
1110rexrab 3123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
w  =  ( f
" z )  <->  E. z  e.  ~P  A ( ( f " z )  e.  x  /\  w  =  ( f "
z ) ) )
12 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( f "
z )  ->  (
w  e.  x  <->  ( f " z )  e.  x ) )
1312biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f " z
)  e.  x  /\  w  =  ( f " z ) )  ->  w  e.  x
)
1413rexlimivw 2837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z  e.  ~P  A
( ( f "
z )  e.  x  /\  w  =  (
f " z ) )  ->  w  e.  x )
15 cnvimass 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' f " w ) 
C_  dom  f
16 f1odm 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  dom  f  =  A )
1716ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  dom  f  =  A )
1815, 17syl5sseq 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  ( `' f " w )  C_  A )
194cnvex 6525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  `' f  e.  _V
20 imaexg 6515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' f  e.  _V  ->  ( `' f " w
)  e.  _V )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' f " w )  e.  _V
2221elpw 3866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' f " w
)  e.  ~P A  <->  ( `' f " w
)  C_  A )
2318, 22sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  ( `' f " w )  e. 
~P A )
24 f1ofo 5648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -onto-> B )
2524ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  f : A -onto-> B )
26 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  x  C_  ~P B )
2726sselda 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  w  e.  ~P B )
2827elpwid 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  w  C_  B
)
29 foimacnv 5658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : A -onto-> B  /\  w  C_  B )  ->  ( f "
( `' f "
w ) )  =  w )
3025, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  ( f " ( `' f
" w ) )  =  w )
3130eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  w  =  ( f " ( `' f " w
) ) )
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  w  e.  x )
3331, 32eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  ( f " ( `' f
" w ) )  e.  x )
34 imaeq2 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( `' f
" w )  -> 
( f " z
)  =  ( f
" ( `' f
" w ) ) )
3534eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( `' f
" w )  -> 
( ( f "
z )  e.  x  <->  ( f " ( `' f " w ) )  e.  x ) )
3634eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( `' f
" w )  -> 
( w  =  ( f " z )  <-> 
w  =  ( f
" ( `' f
" w ) ) ) )
3735, 36anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( `' f
" w )  -> 
( ( ( f
" z )  e.  x  /\  w  =  ( f " z
) )  <->  ( (
f " ( `' f " w ) )  e.  x  /\  w  =  ( f " ( `' f
" w ) ) ) ) )
3837rspcev 3073 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( `' f "
w )  e.  ~P A  /\  ( ( f
" ( `' f
" w ) )  e.  x  /\  w  =  ( f "
( `' f "
w ) ) ) )  ->  E. z  e.  ~P  A ( ( f " z )  e.  x  /\  w  =  ( f "
z ) ) )
3923, 33, 31, 38syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  E. z  e.  ~P  A ( ( f " z )  e.  x  /\  w  =  ( f "
z ) ) )
4039ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  ( w  e.  x  ->  E. z  e.  ~P  A ( ( f " z )  e.  x  /\  w  =  ( f "
z ) ) ) )
4114, 40impbid2 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  ( E. z  e.  ~P  A ( ( f " z )  e.  x  /\  w  =  ( f "
z ) )  <->  w  e.  x ) )
4211, 41syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  ( E. z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } w  =  ( f " z
)  <->  w  e.  x
) )
4342abbi1dv 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  { w  |  E. z  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } w  =  (
f " z ) }  =  x )
4443unieqd 4101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  U. { w  |  E. z  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } w  =  (
f " z ) }  =  U. x
)
458, 44syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  ( f " U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } )  = 
U. x )
46 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  A  e. FinII )
47 ssrab2 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  C_ 
~P A
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  { y  e. 
~P A  |  ( f " y )  e.  x }  C_  ~P A )
49 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  x  =/=  (/) )
50 n0 3646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  x )
5149, 50sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  E. w  w  e.  x )
52 imaeq2 5165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( `' f
" w )  -> 
( f " y
)  =  ( f
" ( `' f
" w ) ) )
5352eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( `' f
" w )  -> 
( ( f "
y )  e.  x  <->  ( f " ( `' f " w ) )  e.  x ) )
5453rspcev 3073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' f "
w )  e.  ~P A  /\  ( f "
( `' f "
w ) )  e.  x )  ->  E. y  e.  ~P  A ( f
" y )  e.  x )
5523, 33, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  E. y  e.  ~P  A ( f
" y )  e.  x )
5651, 55exlimddv 1692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  A ( f "
y )  e.  x
)
57 rabn0 3657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  ~P  A ( f "
y )  e.  x
)
5856, 57sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  { y  e. 
~P A  |  ( f " y )  e.  x }  =/=  (/) )
5910elrab 3117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  { y  e. 
~P A  |  ( f " y )  e.  x }  <->  ( z  e.  ~P A  /\  (
f " z )  e.  x ) )
60 imaeq2 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  w  ->  (
f " y )  =  ( f "
w ) )
6160eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  w  ->  (
( f " y
)  e.  x  <->  ( f " w )  e.  x ) )
6261elrab 3117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { y  e. 
~P A  |  ( f " y )  e.  x }  <->  ( w  e.  ~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) )
6359, 62anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  /\  w  e.  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
)  <->  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )
64 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  -> [ C.]  Or  x
)
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  -> [ C.]  Or  x
)
66 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  ( f " z )  e.  x )
67 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  ( f " w )  e.  x )
68 sorpssi 6366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [
C.]  Or  x  /\  ( ( f "
z )  e.  x  /\  ( f " w
)  e.  x ) )  ->  ( (
f " z ) 
C_  ( f "
w )  \/  (
f " w ) 
C_  ( f "
z ) ) )
6965, 66, 67, 68syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  ( (
f " z ) 
C_  ( f "
w )  \/  (
f " w ) 
C_  ( f "
z ) ) )
70 f1of1 5640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -1-1-> B )
7170ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  f : A -1-1-> B )
72 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  z  e.  ~P A )
7372elpwid 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  z  C_  A )
74 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  w  e.  ~P A )
7574elpwid 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  w  C_  A
)
76 f1imass 5977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  ( z  C_  A  /\  w  C_  A ) )  ->  ( (
f " z ) 
C_  ( f "
w )  <->  z  C_  w ) )
7771, 73, 75, 76syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  ( (
f " z ) 
C_  ( f "
w )  <->  z  C_  w ) )
78 f1imass 5977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  ( w  C_  A  /\  z  C_  A ) )  ->  ( (
f " w ) 
C_  ( f "
z )  <->  w  C_  z
) )
7971, 75, 73, 78syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  ( (
f " w ) 
C_  ( f "
z )  <->  w  C_  z
) )
8077, 79orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  ( (
( f " z
)  C_  ( f " w )  \/  ( f " w
)  C_  ( f " z ) )  <-> 
( z  C_  w  \/  w  C_  z ) ) )
8169, 80mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  ( z  C_  w  \/  w  C_  z ) )
8263, 81sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( z  e. 
{ y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  /\  w  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } ) )  ->  ( z  C_  w  \/  w  C_  z
) )
8382ralrimivva 2808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  A. z  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } A. w  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x }  ( z  C_  w  \/  w  C_  z
) )
84 sorpss 6365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ C.]  Or  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  <->  A. z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } A. w  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  ( z 
C_  w  \/  w  C_  z ) )
8583, 84sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  -> [ C.]  Or  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
)
86 fin2i 8464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x }  C_  ~P A )  /\  ( { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } ) )  ->  U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } )
8746, 48, 58, 85, 86syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  U. { y  e. 
~P A  |  ( f " y )  e.  x }  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } )
88 imaeq2 5165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  ->  ( f " z
)  =  ( f
" U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
) )
8988eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  ->  ( ( f "
z )  e.  x  <->  ( f " U. {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } )  e.  x
) )
9010cbvrabv 2971 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  =  { z  e.  ~P A  |  ( f " z )  e.  x }
9189, 90elrab2 3119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } 
<->  ( U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  e.  ~P A  /\  (
f " U. {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } )  e.  x
) )
9291simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x }  ->  ( f " U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } )  e.  x )
9387, 92syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  ( f " U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } )  e.  x )
9445, 93eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  U. x  e.  x
)
9594expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  x  C_  ~P B )  ->  ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) )
962, 95sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  x  e.  ~P ~P B )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x )  ->  U. x  e.  x ) )
9796ralrimiva 2799 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  ->  A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x )  ->  U. x  e.  x ) )
9897ex 434 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e. FinII  ->  A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) ) )
9998exlimiv 1688 . . 3  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e. FinII  ->  A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x )  ->  U. x  e.  x ) ) )
1001, 99sylbi 195 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinII  ->  A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) ) )
101 relen 7315 . . . 4  |-  Rel  ~~
102101brrelex2i 4880 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
103 isfin2 8463 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e. FinII 
<-> 
A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) ) )
104102, 103syl 16 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( B  e. FinII 
<-> 
A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) ) )
105100, 104sylibrd 234 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinII  ->  B  e. FinII ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   U_ciun 4171   class class class wbr 4292    Or wor 4640   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   "cima 4843   -1-1->wf1 5415   -onto->wfo 5416   -1-1-onto->wf1o 5417   [ C.] crpss 6359    ~~ cen 7307  FinIIcfin2 8448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-rpss 6360  df-en 7311  df-fin2 8455
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator