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Theorem enfin2i 8701
Description: II-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin2i  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinII  ->  B  e. FinII ) )

Proof of Theorem enfin2i
Dummy variables  f  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7525 . . 3  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
2 elpwi 4019 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P ~P B  ->  x  C_  ~P B
)
3 imauni 6146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f
" U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
)  =  U_ z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  ( f
" z )
4 vex 3116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  f  e. 
_V
5 imaexg 6721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " z )  e.  _V )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f
" z )  e. 
_V
76dfiun2 4359 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  ( f
" z )  = 
U. { w  |  E. z  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } w  =  (
f " z ) }
83, 7eqtri 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( f
" U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
)  =  U. {
w  |  E. z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } w  =  ( f " z
) }
9 imaeq2 5333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
f " y )  =  ( f "
z ) )
109eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
( f " y
)  e.  x  <->  ( f " z )  e.  x ) )
1110rexrab 3267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
w  =  ( f
" z )  <->  E. z  e.  ~P  A ( ( f " z )  e.  x  /\  w  =  ( f "
z ) ) )
12 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( f "
z )  ->  (
w  e.  x  <->  ( f " z )  e.  x ) )
1312biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f " z
)  e.  x  /\  w  =  ( f " z ) )  ->  w  e.  x
)
1413rexlimivw 2952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z  e.  ~P  A
( ( f "
z )  e.  x  /\  w  =  (
f " z ) )  ->  w  e.  x )
15 cnvimass 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' f " w ) 
C_  dom  f
16 f1odm 5820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  dom  f  =  A )
1716ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  dom  f  =  A )
1815, 17syl5sseq 3552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  ( `' f " w )  C_  A )
194cnvex 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  `' f  e.  _V
20 imaexg 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' f  e.  _V  ->  ( `' f " w
)  e.  _V )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' f " w )  e.  _V
2221elpw 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' f " w
)  e.  ~P A  <->  ( `' f " w
)  C_  A )
2318, 22sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  ( `' f " w )  e. 
~P A )
24 f1ofo 5823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -onto-> B )
2524ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  f : A -onto-> B )
26 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  x  C_  ~P B )
2726sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  w  e.  ~P B )
2827elpwid 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  w  C_  B
)
29 foimacnv 5833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : A -onto-> B  /\  w  C_  B )  ->  ( f "
( `' f "
w ) )  =  w )
3025, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  ( f " ( `' f
" w ) )  =  w )
3130eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  w  =  ( f " ( `' f " w
) ) )
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  w  e.  x )
3331, 32eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  ( f " ( `' f
" w ) )  e.  x )
34 imaeq2 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( `' f
" w )  -> 
( f " z
)  =  ( f
" ( `' f
" w ) ) )
3534eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( `' f
" w )  -> 
( ( f "
z )  e.  x  <->  ( f " ( `' f " w ) )  e.  x ) )
3634eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( `' f
" w )  -> 
( w  =  ( f " z )  <-> 
w  =  ( f
" ( `' f
" w ) ) ) )
3735, 36anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( `' f
" w )  -> 
( ( ( f
" z )  e.  x  /\  w  =  ( f " z
) )  <->  ( (
f " ( `' f " w ) )  e.  x  /\  w  =  ( f " ( `' f
" w ) ) ) ) )
3837rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( `' f "
w )  e.  ~P A  /\  ( ( f
" ( `' f
" w ) )  e.  x  /\  w  =  ( f "
( `' f "
w ) ) ) )  ->  E. z  e.  ~P  A ( ( f " z )  e.  x  /\  w  =  ( f "
z ) ) )
3923, 33, 31, 38syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  E. z  e.  ~P  A ( ( f " z )  e.  x  /\  w  =  ( f "
z ) ) )
4039ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  ( w  e.  x  ->  E. z  e.  ~P  A ( ( f " z )  e.  x  /\  w  =  ( f "
z ) ) ) )
4114, 40impbid2 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  ( E. z  e.  ~P  A ( ( f " z )  e.  x  /\  w  =  ( f "
z ) )  <->  w  e.  x ) )
4211, 41syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  ( E. z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } w  =  ( f " z
)  <->  w  e.  x
) )
4342abbi1dv 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  { w  |  E. z  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } w  =  (
f " z ) }  =  x )
4443unieqd 4255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  U. { w  |  E. z  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } w  =  (
f " z ) }  =  U. x
)
458, 44syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  ( f " U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } )  = 
U. x )
46 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  A  e. FinII )
47 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  C_ 
~P A
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  { y  e. 
~P A  |  ( f " y )  e.  x }  C_  ~P A )
49 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  x  =/=  (/) )
50 n0 3794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  x )
5149, 50sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  E. w  w  e.  x )
52 imaeq2 5333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( `' f
" w )  -> 
( f " y
)  =  ( f
" ( `' f
" w ) ) )
5352eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( `' f
" w )  -> 
( ( f "
y )  e.  x  <->  ( f " ( `' f " w ) )  e.  x ) )
5453rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' f "
w )  e.  ~P A  /\  ( f "
( `' f "
w ) )  e.  x )  ->  E. y  e.  ~P  A ( f
" y )  e.  x )
5523, 33, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  w  e.  x
)  ->  E. y  e.  ~P  A ( f
" y )  e.  x )
5651, 55exlimddv 1702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  A ( f "
y )  e.  x
)
57 rabn0 3805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  ~P  A ( f "
y )  e.  x
)
5856, 57sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  { y  e. 
~P A  |  ( f " y )  e.  x }  =/=  (/) )
5910elrab 3261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  { y  e. 
~P A  |  ( f " y )  e.  x }  <->  ( z  e.  ~P A  /\  (
f " z )  e.  x ) )
60 imaeq2 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  w  ->  (
f " y )  =  ( f "
w ) )
6160eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  w  ->  (
( f " y
)  e.  x  <->  ( f " w )  e.  x ) )
6261elrab 3261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { y  e. 
~P A  |  ( f " y )  e.  x }  <->  ( w  e.  ~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) )
6359, 62anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  /\  w  e.  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
)  <->  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )
64 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  -> [ C.]  Or  x
)
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  -> [ C.]  Or  x
)
66 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  ( f " z )  e.  x )
67 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  ( f " w )  e.  x )
68 sorpssi 6570 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [
C.]  Or  x  /\  ( ( f "
z )  e.  x  /\  ( f " w
)  e.  x ) )  ->  ( (
f " z ) 
C_  ( f "
w )  \/  (
f " w ) 
C_  ( f "
z ) ) )
6965, 66, 67, 68syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  ( (
f " z ) 
C_  ( f "
w )  \/  (
f " w ) 
C_  ( f "
z ) ) )
70 f1of1 5815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -1-1-> B )
7170ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  f : A -1-1-> B )
72 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  z  e.  ~P A )
7372elpwid 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  z  C_  A )
74 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  w  e.  ~P A )
7574elpwid 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  w  C_  A
)
76 f1imass 6160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  ( z  C_  A  /\  w  C_  A ) )  ->  ( (
f " z ) 
C_  ( f "
w )  <->  z  C_  w ) )
7771, 73, 75, 76syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  ( (
f " z ) 
C_  ( f "
w )  <->  z  C_  w ) )
78 f1imass 6160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  ( w  C_  A  /\  z  C_  A ) )  ->  ( (
f " w ) 
C_  ( f "
z )  <->  w  C_  z
) )
7971, 75, 73, 78syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  ( (
f " w ) 
C_  ( f "
z )  <->  w  C_  z
) )
8077, 79orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  ( (
( f " z
)  C_  ( f " w )  \/  ( f " w
)  C_  ( f " z ) )  <-> 
( z  C_  w  \/  w  C_  z ) ) )
8169, 80mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )  ->  ( z  C_  w  \/  w  C_  z ) )
8263, 81sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  /\  ( z  e. 
{ y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  /\  w  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } ) )  ->  ( z  C_  w  \/  w  C_  z
) )
8382ralrimivva 2885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  A. z  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } A. w  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x }  ( z  C_  w  \/  w  C_  z
) )
84 sorpss 6569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ C.]  Or  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  <->  A. z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } A. w  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  ( z 
C_  w  \/  w  C_  z ) )
8583, 84sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  -> [ C.]  Or  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
)
86 fin2i 8675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x }  C_  ~P A )  /\  ( { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } ) )  ->  U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } )
8746, 48, 58, 85, 86syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  U. { y  e. 
~P A  |  ( f " y )  e.  x }  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } )
88 imaeq2 5333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  ->  ( f " z
)  =  ( f
" U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
) )
8988eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  ->  ( ( f "
z )  e.  x  <->  ( f " U. {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } )  e.  x
) )
9010cbvrabv 3112 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  =  { z  e.  ~P A  |  ( f " z )  e.  x }
9189, 90elrab2 3263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } 
<->  ( U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  e.  ~P A  /\  (
f " U. {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } )  e.  x
) )
9291simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x }  ->  ( f " U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } )  e.  x )
9387, 92syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  ( f " U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } )  e.  x )
9445, 93eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x ) ) )  ->  U. x  e.  x
)
9594expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  x  C_  ~P B )  ->  ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) )
962, 95sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  x  e.  ~P ~P B )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x )  ->  U. x  e.  x ) )
9796ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  ->  A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x )  ->  U. x  e.  x ) )
9897ex 434 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e. FinII  ->  A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) ) )
9998exlimiv 1698 . . 3  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e. FinII  ->  A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x )  ->  U. x  e.  x ) ) )
1001, 99sylbi 195 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinII  ->  A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) ) )
101 relen 7521 . . . 4  |-  Rel  ~~
102101brrelex2i 5041 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
103 isfin2 8674 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e. FinII 
<-> 
A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) ) )
104102, 103syl 16 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( B  e. FinII 
<-> 
A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) ) )
105100, 104sylibrd 234 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinII  ->  B  e. FinII ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    Or wor 4799   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002   -1-1->wf1 5585   -onto->wfo 5586   -1-1-onto->wf1o 5587   [ C.] crpss 6563    ~~ cen 7513  FinIIcfin2 8659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-rpss 6564  df-en 7517  df-fin2 8666
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