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Theorem enfin2i 8748
Description: II-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin2i  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinII  ->  B  e. FinII ) )

Proof of Theorem enfin2i
Dummy variables  f  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7575 . . 3  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
2 elpwi 3959 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P ~P B  ->  x  C_  ~P B
)
3 imauni 6149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f
" U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
)  =  U_ z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  ( f
" z )
4 vex 3047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  f  e. 
_V
5 imaexg 6727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " z )  e.  _V )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f
" z )  e. 
_V
76dfiun2 4311 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  ( f
" z )  = 
U. { w  |  E. z  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } w  =  (
f " z ) }
83, 7eqtri 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( f
" U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
)  =  U. {
w  |  E. z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } w  =  ( f " z
) }
9 imaeq2 5163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
f " y )  =  ( f "
z ) )
109eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
( f " y
)  e.  x  <->  ( f " z )  e.  x ) )
1110rexrab 3201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
w  =  ( f
" z )  <->  E. z  e.  ~P  A ( ( f " z )  e.  x  /\  w  =  ( f "
z ) ) )
12 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( f "
z )  ->  (
w  e.  x  <->  ( f " z )  e.  x ) )
1312biimparc 490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f " z
)  e.  x  /\  w  =  ( f " z ) )  ->  w  e.  x
)
1413rexlimivw 2875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z  e.  ~P  A
( ( f "
z )  e.  x  /\  w  =  (
f " z ) )  ->  w  e.  x )
15 cnvimass 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' f " w ) 
C_  dom  f
16 f1odm 5816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  dom  f  =  A )
1716ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  w  e.  x )  ->  dom  f  =  A )
1815, 17syl5sseq 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  w  e.  x )  ->  ( `' f "
w )  C_  A
)
194cnvex 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  `' f  e.  _V
20 imaexg 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' f  e.  _V  ->  ( `' f " w
)  e.  _V )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' f " w )  e.  _V
2221elpw 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' f " w
)  e.  ~P A  <->  ( `' f " w
)  C_  A )
2318, 22sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  w  e.  x )  ->  ( `' f "
w )  e.  ~P A )
24 f1ofo 5819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -onto-> B )
2524ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  w  e.  x )  ->  f : A -onto-> B
)
26 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  ->  x  C_  ~P B )
2726sselda 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  w  e.  x )  ->  w  e.  ~P B
)
2827elpwid 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  w  e.  x )  ->  w  C_  B )
29 foimacnv 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : A -onto-> B  /\  w  C_  B )  ->  ( f "
( `' f "
w ) )  =  w )
3025, 28, 29syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  w  e.  x )  ->  ( f " ( `' f " w
) )  =  w )
3130eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  w  e.  x )  ->  w  =  ( f
" ( `' f
" w ) ) )
32 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  w  e.  x )  ->  w  e.  x )
3331, 32eqeltrrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  w  e.  x )  ->  ( f " ( `' f " w
) )  e.  x
)
34 imaeq2 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( `' f
" w )  -> 
( f " z
)  =  ( f
" ( `' f
" w ) ) )
3534eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( `' f
" w )  -> 
( ( f "
z )  e.  x  <->  ( f " ( `' f " w ) )  e.  x ) )
3634eqeq2d 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( `' f
" w )  -> 
( w  =  ( f " z )  <-> 
w  =  ( f
" ( `' f
" w ) ) ) )
3735, 36anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( `' f
" w )  -> 
( ( ( f
" z )  e.  x  /\  w  =  ( f " z
) )  <->  ( (
f " ( `' f " w ) )  e.  x  /\  w  =  ( f " ( `' f
" w ) ) ) ) )
3837rspcev 3149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( `' f "
w )  e.  ~P A  /\  ( ( f
" ( `' f
" w ) )  e.  x  /\  w  =  ( f "
( `' f "
w ) ) ) )  ->  E. z  e.  ~P  A ( ( f " z )  e.  x  /\  w  =  ( f "
z ) ) )
3923, 33, 31, 38syl12anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  w  e.  x )  ->  E. z  e.  ~P  A ( ( f
" z )  e.  x  /\  w  =  ( f " z
) ) )
4039ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  -> 
( w  e.  x  ->  E. z  e.  ~P  A ( ( f
" z )  e.  x  /\  w  =  ( f " z
) ) ) )
4114, 40impbid2 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  -> 
( E. z  e. 
~P  A ( ( f " z )  e.  x  /\  w  =  ( f "
z ) )  <->  w  e.  x ) )
4211, 41syl5bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  -> 
( E. z  e. 
{ y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } w  =  ( f " z
)  <->  w  e.  x
) )
4342abbi1dv 2570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  ->  { w  |  E. z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } w  =  ( f "
z ) }  =  x )
4443unieqd 4207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  ->  U. { w  |  E. z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } w  =  ( f "
z ) }  =  U. x )
458, 44syl5eq 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  -> 
( f " U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } )  = 
U. x )
46 simplr 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  ->  A  e. FinII )
47 ssrab2 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  C_ 
~P A
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  ->  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  C_  ~P A )
49 simprrl 773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  ->  x  =/=  (/) )
50 n0 3740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  x )
5149, 50sylib 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  ->  E. w  w  e.  x )
52 imaeq2 5163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( `' f
" w )  -> 
( f " y
)  =  ( f
" ( `' f
" w ) ) )
5352eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( `' f
" w )  -> 
( ( f "
y )  e.  x  <->  ( f " ( `' f " w ) )  e.  x ) )
5453rspcev 3149 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' f "
w )  e.  ~P A  /\  ( f "
( `' f "
w ) )  e.  x )  ->  E. y  e.  ~P  A ( f
" y )  e.  x )
5523, 33, 54syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  w  e.  x )  ->  E. y  e.  ~P  A ( f "
y )  e.  x
)
5651, 55exlimddv 1780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  ->  E. y  e.  ~P  A ( f "
y )  e.  x
)
57 rabn0 3751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  ~P  A ( f "
y )  e.  x
)
5856, 57sylibr 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  ->  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  =/=  (/) )
5910elrab 3195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  { y  e. 
~P A  |  ( f " y )  e.  x }  <->  ( z  e.  ~P A  /\  (
f " z )  e.  x ) )
60 imaeq2 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  w  ->  (
f " y )  =  ( f "
w ) )
6160eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  w  ->  (
( f " y
)  e.  x  <->  ( f " w )  e.  x ) )
6261elrab 3195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { y  e. 
~P A  |  ( f " y )  e.  x }  <->  ( w  e.  ~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) )
6359, 62anbi12i 702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  /\  w  e.  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
)  <->  ( ( z  e.  ~P A  /\  ( f " z
)  e.  x )  /\  ( w  e. 
~P A  /\  (
f " w )  e.  x ) ) )
64 simprrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  -> [ C.] 
Or  x )
6564adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  ( ( z  e. 
~P A  /\  (
f " z )  e.  x )  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( f "
w )  e.  x
) ) )  -> [ C.] 
Or  x )
66 simprlr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  ( ( z  e. 
~P A  /\  (
f " z )  e.  x )  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( f "
w )  e.  x
) ) )  -> 
( f " z
)  e.  x )
67 simprrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  ( ( z  e. 
~P A  /\  (
f " z )  e.  x )  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( f "
w )  e.  x
) ) )  -> 
( f " w
)  e.  x )
68 sorpssi 6574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [ C.]  Or  x  /\  (
( f " z
)  e.  x  /\  ( f " w
)  e.  x ) )  ->  ( (
f " z ) 
C_  ( f "
w )  \/  (
f " w ) 
C_  ( f "
z ) ) )
6965, 66, 67, 68syl12anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  ( ( z  e. 
~P A  /\  (
f " z )  e.  x )  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( f "
w )  e.  x
) ) )  -> 
( ( f "
z )  C_  (
f " w )  \/  ( f "
w )  C_  (
f " z ) ) )
70 f1of1 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -1-1-> B )
7170ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  ( ( z  e. 
~P A  /\  (
f " z )  e.  x )  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( f "
w )  e.  x
) ) )  -> 
f : A -1-1-> B
)
72 simprll 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  ( ( z  e. 
~P A  /\  (
f " z )  e.  x )  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( f "
w )  e.  x
) ) )  -> 
z  e.  ~P A
)
7372elpwid 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  ( ( z  e. 
~P A  /\  (
f " z )  e.  x )  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( f "
w )  e.  x
) ) )  -> 
z  C_  A )
74 simprrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  ( ( z  e. 
~P A  /\  (
f " z )  e.  x )  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( f "
w )  e.  x
) ) )  ->  w  e.  ~P A
)
7574elpwid 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  ( ( z  e. 
~P A  /\  (
f " z )  e.  x )  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( f "
w )  e.  x
) ) )  ->  w  C_  A )
76 f1imass 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  ( z  C_  A  /\  w  C_  A ) )  ->  ( (
f " z ) 
C_  ( f "
w )  <->  z  C_  w ) )
7771, 73, 75, 76syl12anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  ( ( z  e. 
~P A  /\  (
f " z )  e.  x )  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( f "
w )  e.  x
) ) )  -> 
( ( f "
z )  C_  (
f " w )  <-> 
z  C_  w )
)
78 f1imass 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  ( w  C_  A  /\  z  C_  A ) )  ->  ( (
f " w ) 
C_  ( f "
z )  <->  w  C_  z
) )
7971, 75, 73, 78syl12anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  ( ( z  e. 
~P A  /\  (
f " z )  e.  x )  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( f "
w )  e.  x
) ) )  -> 
( ( f "
w )  C_  (
f " z )  <-> 
w  C_  z )
)
8077, 79orbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  ( ( z  e. 
~P A  /\  (
f " z )  e.  x )  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( f "
w )  e.  x
) ) )  -> 
( ( ( f
" z )  C_  ( f " w
)  \/  ( f
" w )  C_  ( f " z
) )  <->  ( z  C_  w  \/  w  C_  z ) ) )
8169, 80mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  ( ( z  e. 
~P A  /\  (
f " z )  e.  x )  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( f "
w )  e.  x
) ) )  -> 
( z  C_  w  \/  w  C_  z ) )
8263, 81sylan2b 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  (
x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  /\  ( z  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x }  /\  w  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } ) )  -> 
( z  C_  w  \/  w  C_  z ) )
8382ralrimivva 2808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  ->  A. z  e.  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x } A. w  e.  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x } 
( z  C_  w  \/  w  C_  z ) )
84 sorpss 6573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ C.]  Or  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  <->  A. z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } A. w  e.  { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  ( z 
C_  w  \/  w  C_  z ) )
8583, 84sylibr 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  -> [ C.] 
Or  { y  e. 
~P A  |  ( f " y )  e.  x } )
86 fin2i 8722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x }  C_  ~P A )  /\  ( { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } ) )  ->  U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } )
8746, 48, 58, 85, 86syl22anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  ->  U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } )
88 imaeq2 5163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  ->  ( f " z
)  =  ( f
" U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }
) )
8988eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  ->  ( ( f "
z )  e.  x  <->  ( f " U. {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } )  e.  x
) )
9010cbvrabv 3043 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  =  { z  e.  ~P A  |  ( f " z )  e.  x }
9189, 90elrab2 3197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } 
<->  ( U. { y  e.  ~P A  | 
( f " y
)  e.  x }  e.  ~P A  /\  (
f " U. {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x } )  e.  x
) )
9291simprbi 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x }  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( f "
y )  e.  x }  ->  ( f " U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } )  e.  x )
9387, 92syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  -> 
( f " U. { y  e.  ~P A  |  ( f " y )  e.  x } )  e.  x )
9445, 93eqeltrrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  ( x  C_  ~P B  /\  ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) ) )  ->  U. x  e.  x
)
9594expr 619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  x  C_  ~P B )  ->  ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) )
962, 95sylan2 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  /\  x  e.  ~P ~P B )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) )
9796ralrimiva 2801 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  A  e. FinII )  ->  A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) )
9897ex 436 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e. FinII  ->  A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) ) )
9998exlimiv 1775 . . 3  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e. FinII  ->  A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) ) )
1001, 99sylbi 199 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinII  ->  A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) ) )
101 relen 7571 . . . 4  |-  Rel  ~~
102101brrelex2i 4875 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
103 isfin2 8721 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e. FinII 
<-> 
A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) ) )
104102, 103syl 17 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( B  e. FinII 
<-> 
A. x  e.  ~P  ~P B ( ( x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  x ) ) )
105100, 104sylibrd 238 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinII  ->  B  e. FinII ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886   {cab 2436    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   U.cuni 4197   U_ciun 4277   class class class wbr 4401    Or wor 4753   `'ccnv 4832   dom cdm 4833   "cima 4836   -1-1->wf1 5578   -onto->wfo 5579   -1-1-onto->wf1o 5580   [ C.] crpss 6567    ~~ cen 7563  FinIIcfin2 8706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-rpss 6568  df-en 7567  df-fin2 8713
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